第2个回答 2019-04-02
斐波那契数列通项公式
f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}
通项公式的推导方法一:利用特征方程
线性递推数列的特征方程为:
x^2=x+1
解得
x1=(1+√5)/2,
x2=(1-√5)/2.
则f(n)=c1*x1^n
+
c2*x2^n
∵f(1)=f(2)=1
∴c1*x1
+
c2*x2
c1*x1^2
+
c2*x2^2
解得c1=1/√5,c2=-1/√5
∴f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二:普通方法
设常数r,s
使得f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
则r+s=1,
-rs=1
n≥3时,有
f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
f(n-1)-r*f(n-2)=s*[f(n-2)-r*f(n-3)]
f(n-2)-r*f(n-3)=s*[f(n-3)-r*f(n-4)]
……
f(3)-r*f(2)=s*[f(2)-r*f(1)]
将以上n-2个式子相乘,得:
f(n)-r*f(n-1)=[s^(n-2)]*[f(2)-r*f(1)]
∵s=1-r,f(1)=f(2)=1
上式可化简得:
f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
那么:
f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*f(n-2)
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+
r^3*f(n-3)
……
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+……+
r^(n-2)*s
+
r^(n-1)*f(1)
=
s^(n-1)
+
r*s^(n-2)
+
r^2*s^(n-3)
+……+
r^(n-2)*s
+
r^(n-1)
(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和)
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n
-
r^n)/(s-r)
r+s=1,
-rs=1的一解为
s=(1+√5)/2,
r=(1-√5)/2
则f(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n
-
[(1-√5)/2]^n}