设G为6阶群，由拉格朗日定理的推论知，G中元素的阶必为6的因子，即1,2,3,6.
（1）若G中某个元素阶为6，不妨设|a| = 6,可知G=<a>为6阶循环群，a^2就是它的一个3阶元，H=<a^2>就是它的一个三阶子群；
（2）若G中不含6阶元，则：
采用反证法。若G中不含3阶元，则G中所有元素的阶均为1或者2。即所有元素x都满足x^2=e,所以x=x^(-1),于是任取x,y属于G，成立xy = (xy)^(-1) = y^(-1)x^(-1) = yx，故G为Abel群。取G中的非单位元a和b且a不等于b，容易验证H={e,a,b,ab}可构成一个群，它是G的子群，但它的阶为4，不能被6整除，与拉格朗日定理矛盾！故假设不成立，G中必含3阶元z，取<z>即为所求的三阶子群。