如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD

Question

如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD．

Answer 1

解答：证明：延长AD至M，使DM=AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴DB=CD，
在△ABD和△MDC中

BD＝CD ∠ADB＝∠MDC AD＝DM

，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴MC=AB，∠B=∠MCD，
∵AB=CE，
∴CM=CE，
∵∠BAC=∠BCA，
∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD，
即∠ACM=∠ACE，
在△ACE和△ACM中

AC＝AC ∠ACE＝∠ACM CM＝CE

，
∴△ACM≌△ACE（SAS）．
∴AE=AM，
∵AM=2AD，
∴AE=2AD．

Answer 2

证明：在AD的延长线上取点F，使AD＝FD，连接CF
∵AD是中线
∴BD＝CD，AD＝FD，∠ADB＝∠FDC
∴△ABD≌△FCD
（SAS）
∴CF＝AB，∠B＝∠FCD
∵∠ACF＝∠BCA+∠BCE，∠ACE＝∠BAC+∠B，∠BAC＝∠BCA
∴∠ACF＝∠ACE
∵CE＝AB
∴CE＝CF
∴△ACE≌△ACF
（SAS）
∴AE＝AF
∵AF＝AD+FD＝2AD
∴AE＝2AD