高中物理一题

Question

半径为r和2r的 两个质量不计的圆盘 ，共轴固定连接在一起，圆盘在竖直平面内，大圆盘的边缘固定一个质量为m的质点，小圆盘上饶有细绳，开始时圆盘静止，指点在水平轴O的正下方，即最低点，现以水平恒力F拉细绳，使两圆盘转动，
（1）若恒力F=mg,两圆盘转过的角度为多大时质点速度最大？
（2）若转过的最大角度为60度，则此时恒力为多大？
转过角度用 a 表示，取弧度
我是这样做的，根据机械能守恒列式：F.a.2r-mg.2r.(1-cosa)=1/2×mv^2
化简得v^2=4.g.r(a+cosa-1) 求导后得 (v^2)`=4gr(1-sina),，这个a就不好求了（不能等于0度吧），或者说我这样做不对，那么应该怎么列式？

还有一点我不明白，F做功应该怎么表示？为什么？
elusory008 我是高三生，这是我复习中遇到的题目，也就是说，导我会求正常，机械能也复习完了，力矩学过概念，但没学过运用
这题是在复习完机械能守恒和曲线运动两章后遇到的。很感谢您的热心，写了那么一大堆，可惜我不懂力矩，我想应该用我学过的那两章内容来解题，但改怎么解，有别的方法吗？
两位， 圆盘质量不计，那么力F对质点是怎么做功的呢？
noom25 你说的对，不是机械能守恒，而是动能定理，我说错了。 还有何法？

Answer 1

这是高一物理题，你居然会求导。现在高一学生就会求导了？真厉害。
我来分析下你这个题目，如果觉得有不懂地方那么请指出，尽量不要关闭问题。

首先说机械能守恒。这个定律是成立的。但是你列出的式子不对。
如果根据机械能守恒来解决这个问题，那么我认为 高一的知识基础 仍然不足。在这个问题中，F做功转化为：质点m的重力势能 + 整个系统的转动动能。
在高一阶段，我印象 还没有学转动动能，而只是学了平动动能 mv^2 /2。
转动动能的表达式 Iω^2/2，其中 ω 是角速度，I 是转动惯量。在高中阶段 还没有学到转动惯量如何计算。

在高中阶段，可以通过另外一个途径解题：即根据力矩原理，类似于杠杆原理。

F 施加了一个力矩 T1 = Fr
质点m所受重力也施加了一个力矩 T2 = mg*sinθ * 2r 。其中 θ 表示 m所在位置的半径 与竖直方向的夹角。
T1 T2 的力矩方向是相反的。当时间 t=0 时，θ= 0, T2 = 0。整个系统受到的力矩为 T1 = Fr。在这个力矩作用下，系统做 加速圆周运动。随着 θ增加，T2 逐渐增大，而T1不变。因此系统受到的合外力矩逐渐减小，角加速度逐渐减小。
当 T1 = T2 时，合外力矩为0，瞬时角加速度为0，处于瞬时的匀速圆周运动状态。在此之后，随着 θ 的继续增大，T2 > T1，合外力矩变为负值，系统开始做减速圆周运动。最后达到一个瞬时状态：系统停止运转。转动动能=0，F所做的功全部体现为 m 的重力势能。再之后，由于 T2 > T1，系统开始返回转动。如此往复下去。
以上是对物理过程的分析。你在解答时候是不需要这些文字说明的。

好了，开始数字化解题。

（1）若恒力F=mg,两圆盘转过的角度为多大时质点速度最大？
T1 = mgr
T2 = mgsinθ * 2r
当质点速度最大时
T1 = T2
mgr = mgsinθ * 2r
sinθ = 1/2
θ = 30 度

（2）若转过的最大角度为60度，则此时恒力为多大？
F 做功
W = F * 2πr * (60/360) = Fπr/3
m的重力势能
E = mg*(2r - 2r * cosθ)

W = E
Fπr/3 = mg*2r*(1-cosθ)
Fπr/3 = mg*2r*(1 - cos60)
Fπr/3 = mg*2r*(1/2)
Fπr/3 = mgr
F = 3mg/π
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补充：我上面的回答中忽略了一点：圆盘质量不计
但这不影响我的解答中的每一步。但可做进一步改进：
F做功转化为：质点m的重力势能 + 整个系统的转动动能 = 质点m的势能+质点m的动能。
但是第一问，如果不用力矩途径的话， 可以如下做法
外力做功
W = F*2πr*(θ/2π) = Fθr (这里 θ 是弧度制）
质点势能 Ep= mg2r(1 - cosθ)
质点动能 Ek = W - Ep = Fθr - 2mgr(1-cosθ)
对 θ 求导
Ek' = Fr - 2mgrsinθ
令 Ek' = 0
容易得到 θ = π/6
与 力矩方法的结论完全一致。（我原来把问题看成 高一了，原来是高三）

接下来 如果还想严密点的话，需要 证明这个极值是极大值。
这个可以通过 求二阶导数来证明。或其它单调性分析方法来完成。请自行完成。

Answer 2

一楼的回答看来很完美。