第1个回答 2012-05-13
证明
相对论公式及证明 符号 单位 符号 单位 坐标（x,y,z）：m 力F(f）：N 时间t(T）：s 质量m(M): kg 位移r：m 动量p: kg*m/s 速度v(u）：m/s 能量E: J 加速度a：m/s^2 冲量：N*s 长度l(L）：m 动能Ek：J 路程s(S）：m 势能Ep：J 角速度ω：rad/s 力矩：N*m 角加速度：rad/s^2α 功率P：W 牛顿力学 （一）：质点运动学基本公式：（1)v=dr/dt,r=r0+∫vdt (2)a=dv/dt,v=v0+∫adt （注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式） 当v不变时，（1）表示匀速直线运动。 当a不变时，（2）表示匀变速直线运动。 只要知道质点的运动方程r=r(t），它的一切运动规律就可知了。 （二）：质点动力学： (1）牛一：一切物体在没有受到力的作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。 (2）牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。 F=ma=mdv/dt=dp/dt (3）牛三：作用在同一物体上的两个力，如果等大反向作用在同一直线上，则二力平衡。 (4）万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。 F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) 动量定理：I=∫Fdt=p2-p1（合外力的冲量等于动量的变化） 动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。 动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1（合外力的功等于动能的变化） 机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 （注：牛顿力学的核心是牛顿第二定律：F=ma，它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t），若知受力情况，根据牛二可得a，再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t），可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。） 狭义相对论力学 （注：“γ”为相对论因子，γ=1/sqr(1-u^2/c^2），β=u/c，u为惯性系速度。） 1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。 （2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。 （此处先给出公式再给出证明） 2．洛仑兹坐标变换： X=γ（x-ut) Y=y Z=z T=γ（t-ux/c^2) 3．速度变换： V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) V(y)=v(y)/（γ（1-v(x)u/c^2)) V(z)=v(z)/（γ（1-v(x)u/c^2)) 4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ 5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ 6．光的多普勒效应：ν（a)=sqr((1-β）/(1+β））ν（b) （光源与探测器在一条直线上运动。） 7．动量表达式：P=Mv=γmv，即M=γm 8．相对论力学基本方程：F=dP/dt 9．质能方程：E=Mc^2 10．能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2 （注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。） 三维证明 1．由实验总结出的公理，无法证明。 2．洛仑兹变换： 设（x,y,z,t）所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。 可令 x=k(X+uT) (1). 又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut），由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K. 故有 X=k(x-ut) (2). 对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得 Y=y (3). Z=z (4). 将（2）代入（1）可得：x=k^2(x-ut)+kuT，即 T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5). (1)(2)(3)(4)(5）满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT. 代入（1)(2）式得：ct=kT(c+u），cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得： k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入（2)(5）式得坐标变换： X=γ（x-ut) Y=y Z=z T=γ（t-ux/c^2) 3．速度变换： V(x)=dX/dT=γ（dx-ut)/（γ（dt-udx/c^2)) =(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2) =(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 同理可得V(y),V(z）的表达式。 4．尺缩效应： B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ（x-ut）得：△X=γ（△x-u△t），又△t=0（要同时测量两端的坐标），则△X=γ△x，即：△l=γ△L，△L=△l/γ 5．钟慢效应： 由坐标变换的逆变换可知，t=γ（T+Xu/c^2），故△t=γ（△T+△Xu/c^2），又△X=0，（要在同地测量），故△t=γ△T. （注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。） 6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν（a)=((u+v1)/(u-v2））ν（b).） B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν（b），波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b），由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为 △t(a)=γ△t(b) (1). 探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则 △t(N)=(1+β）△t(a) (2). 相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即 ν（b）△t(b)=ν（a）△t(N) (3). 由以上三式可得： ν（a)=sqr((1-β）/(1+β））ν（b). 7．动量表达式：（注：dt=γdτ，此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2）因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c） 牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。 牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为（X,Y,Z））只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm（相对论质量）则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算） 8．相对论力学基本方程：： 由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量） 9．质能方程： Ek=∫Fdr=∫（dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv =Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2 =Mc^2-mc^2 即E=Mc^2=Ek+mc^2 10．能量动量关系： E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2），E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2 四维证明 1．公理，无法证明。 2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔， dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1). 则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。 由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴） X=xcosφ+(ict)sinφ 得：tanφ=iu/c，则cosφ=γ，sinφ=iuγ/c反代入上式得： X=γ（x-ut) Y=y Z=z T=γ（t-ux/c^2) 3．4．5．6．略。 7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2），下式中dt=γdτ） 令r=(x,y,z,ict）则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。 则V=（γv,icγ）γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理） 四维动量：P=mV=（γmv,icγm)=(Mv,icM) 四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=（γF，γicdM/dt）（F为三维力） 四维加速度：ω=/dτ=（γ^4a，γ^4iva/c) 则f=mdV/dτ=mω 8．略。 9．质能方程： fV=mωV=m（γ^5va+i^2γ^5va)=0 故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力） 由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt（功率表达式）） 故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2 故E=Mc^2=Ek+mc^2