如何解关于球的问题

Question

在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆半径r=2s/c。在空间内，三棱锥的体积为V,表面积为S，利用类比推理的方法，求三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面都相切）的半径

Answer 1

顶点数:4 (相同) 棱数:6 (等长) 面:4 (全等正三角形)
棱长为1时，
高:6^0.5/3,中心把高分为1:3两部分.两条高夹角为2*asin(6^0.5/3)=2*acos(3^0.5/3)=2*atan(2^0.5)=2*acot(2^0.5/2)≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16〃39428 41664 889.这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度.
表面积:3^0.5
体积:2^0.5/12
外接球半径:6^0.5/4,正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π约12.2517532%
内切球半径:6^0.5/12,内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18约30.2299894%
两个面夹角:2*asin(3^0.5/3)=2*acos(6^0.5/3)=2*atan(2^0.5/2)=2*acot(2^0.5)≈1.23095 94173 4077(弧度)或70°31′43〃60571 58335 1107,与两条高夹角数值上互补.

Answer 2

r=2s/c 是将三角形面积由内切圆圆心划为高相等的三块面积得来的，
同理，三棱锥体积也可以由内切球球心划为高相等的四块体积得来：V=(1/3)Sr，
所以得：r=3v/s