求初中三角形知识

Question

请给出初中所有有关三角形的性质，定理，证明，公式等
尽可能越多越好，给分
可以不必太过详细，不需要证明，稍详细即可
谢谢

Answer 1

个人总结如下
一、三角形
1、三角形的概念及判定（稳定性）
2、三角形的分类：不等边三角形，等腰三角形（按边分）；直角三角形，斜三角形（按角分）
3、三角形中的主要线段（角平分线、中线、高线）
4、三角形常用的四心：重心（中心）、垂心、内心、外心
二、全等三角形
全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形图形叫做全等三角形。
三角形全等的判定
边角边定理：“边角边”或“SAS”
角边角定理：“角边角”或“ASA”
边边边定理：“边边边”或“SSS”
角角边定理：“角角边”或“AAS"
斜边、直角边定理：斜边、直角边”或“HL”
全等变换：（1）平移变换（2）对称变换（3）旋转变换
三、等腰三角形
等腰三角形的重要推论（三线合一）
2、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
四、解直接三角形（由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程）
1、直角三角形的性质（1）两个锐角互余（2）30°角所对的直角边等于斜边的一半。（3）直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（4）勾股定理 （常见勾股数）
2、∠ACB=90° 用在双垂直角三角形中 （摄影定理）

CD⊥AB
3、常用关系式
由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC
锐角三角函数与特殊值追问

和我记录的差不多，还有什么吗？

追答

　正弦（sin）等于对边比斜边； 　　余弦（cos）等于邻边比斜边； 　　正切（tan）等于对边比邻边； 　　余切（cot）等于邻边比对边； 　　正割（sec)等于斜边比邻边； 　　余割(csc)等于斜边比对边。
A 0° 30° 45° 60° 90°
sinA 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cosA 1 √3/2 √2/2 1/2 0
tanA 0 √3/3 1 √3 None
cotA None √3 1 √3/3 0
1.1 正弦和余弦
例1 已知0°≤α≤90°.(1)求证:sin2α+cos2α=1;
(2)求证:sinα+cosα≥1,讨论在什么情形下等号成立;
(3)已知sinα+cosα=1,求sin3α+cos3α的值.
证明 (1)如图6-1,当0°<α<90°时,sinα=BC/AB,cosα=AC/AB,所以在这种情形下
当α=0°时,sinα=0,cosα=1;当α=90°,sinα=1,cosα=0.所以在这两种情形下仍有
sin2α+cos2α=1.
(2)如图6-1,当0°<α<90°时,sinα=BC/AB,cosα=AC/AB.所以在这种情形下
当α=0°时,sinα+cosα=0+1=1;当α=90°时,sinα+cosα=1+0=1.所以当0°≤α≤90°时,总有
sinα+cosα≥1,
当并且只当α=0°或α=90°时,等号成立.
(3)由于已知sina+cosα=1.由(2)可知α=0°或α=90°,所以总有
sin3α+cos3α=1.
例2 求证:对于0°≤α≤90°,
证法一 如图6-1,设BC=a,AC=b,AB=c.由锐角三角函数
当α=0°或α=90°时,容易验证以上等式仍成立.
证法二
点评 证法一是根据锐角三角函数的定义;证法二用了公式sin2α+cos2α=1.
证明一个三角恒等式成立,可变换等号左(右)端的式子,如得到等号右(左)端的式子,原恒等式就被证明了.一般对较复杂的式子进行变换,也可以对等号左,右的式子都进行变换,如得到相同的式子,原恒等式就被证明了.
1.2 正切和余切

证明 (1)当0°<α<90°时,如图6-2,
当α=0°时,tgα=0,sinα=0,cosα=1.所以仍有tgα=
(2)α必须满足不等式:
0°<α<90°.
如图6-2,
所以tgα·ctgα=1.
例2 已知锐角α,且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根,求
解法一 x2-2x-3=0的两根为3和-1.这里只能是tgα=3.
如图6-3,由于tgα=3.因此可设BC=3,AC=1,从而
解法二 tgα=3,用cos2α除原式分子,分母,得
证法一 如图6-2,设BC=a,AC=b,AB=c,则
所以原式成立.
证法二 等式的左端
点评 这里α≠0°,90°.

Answer 2

A+B+C=180度