求所有的正整数m.n,使得mn|3^m+1,mn|3^n+1

Question

如题所述

Answer 1

答案是：(1,2)(1,3)(2,5)(3,5)(2,2)(2,1)(3,1)(5,2)(5,3) 共九对。
大体是由对称性知m和n一样，然后用同余的知识解。
参见《高中数学竞赛培优教程（专题讲座）》（浙江大学出版社）第20页【例2.5】。

已知（mn-1)|(n^3+1)
因为（mn-1,m)=1,所以（mn-1,m^3)=1
所以由（mn-1)|(n^3+1)可以得出（mn-1)|(n^3+1)*m3
但(n^3+1)*m&3=(m^3*n^3-1)+(m^3+1)
又因为（mn-1)|(m^3*n^3-1)，所以（mn-1)|(m^3+1)

若m=n,则（n^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(n^2-1)=n+1/(n-1),即1/（n-1)是整数，只能是n=2,答案是（2，2）

若m<>n,不妨设m>n
若n=1,则2/(m-1)是整数，m=2,3,此时答案是（2，1），（3，1）
若m>n>=2,因n^3+1对n同余1，mn-1对n同余-1,
令n^3+1=q(mn-1),必有q对n同余-1,故可设q=kn-1,于是
kn-1=(n^3+1)/(mn-1)<(n^3+1)/(n^2-1)=n+1/(n-1)<=n+1
注意到n>=2,所以k=1.于是
n^3+1=(n-1)(mn-1)=mn^2-n-mn+1,
n^2=mn-1-m,
n^2-1=m(n-1)-2
上式表明（n-1)|2,故n=2,3,相应的m=5,答案为（5，2），（5，3），
考虑到m,n的对称性，还有（1,2),(1,3),(2,5),(3,5).追问

这个解答不是这道题的吧。答案是（1，1），（1,2），（2,1）

算了，我自己会做了，下次解答请看清楚题目，还是给好评吧