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复变函数中，为什么Ln（z的n次方）=nLnz不成立，为什么幂函数的定义是w=z的α次方=e的αLnz次方成立
如题所述
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推荐答案 推荐于2016-12-02
举反例：Ln(Z^2)与2Ln(z)
Ln(Z^2)=Ln(z)+Ln(z)=2ln|z|+2i(φ+kπ) k=0,1,2,…;
而 2Ln(z)=2ln|z|+2i(φ+2kπ) k=0,1,2,…其中φ是主值
辐角
可以看出，Ln(Z^2)与2Ln(z)周期分别为2π和4π，所以不相等
在复数范围内Z^α=exp(αLn(z))成立
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相似回答
复变函数
:Lnz^
n=nLnz不成立,为什么
在
幂函数中z
^a
=e
^aLnz?详细点谢谢
答：
因为所谓的指数
函数E
xp
(z)
是周期的，引入了指数函数以后，那个差别就无意义了。
在
复变函数中,为什么Ln(z的n次方)=nLnz不成立
?
答：
Lnz是多值函数:Lnz
=ln
|z|+iargz ,如果记z=re^iQ（复数的欧拉表达式），当n为实数时，带进去显然
不成立，
如上面那位老兄举例一样呢。但是，在
幂函数
里，α为复常数，也就是n取复数了，z^α同样根据α的取值为多值
函数，
e^
LN是
一个恒等算子，z^
α=e
^LNz^α。也可以解释为他们的取值都是除0...
复数域上
为啥z
^
n
在|z|=1处在n无穷时
不是
无穷小量?
答：
幂函数的定义是
f
(z)=z
^
n=e
^(
nLnz
)而Lnz=ln|z|+iArgz=ln|z|+2kπi 当|z|=1时
,ln
|z|=0,代入上式得z^n=e^(2nkπi)由於nk依然是整数,用K来表示就
变成z
^n=e^(2Kπi
)=e
^0=1 即不管K是多少,z^n一定是1,是常数
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