摆线图形的面积可以通过计算其在一个周期内的积分来求解。摆线是一个点在圆周上滑动时，该点相对于圆心的轨迹所形成的曲线。设摆线的参数方程为：
𝑥
=
𝑟
(
𝑡
−
sin
𝑡
)
x=r(t−sint)
𝑦
=
𝑟
(
1
−
cos
𝑡
)
y=r(1−cost)
其中，
𝑟
r 是圆的半径，
𝑡
t 是参数。
为了求解摆线围成的面积，我们需要计算一个周期内（
0
≤
𝑡
≤
2
𝜋
0≤t≤2π）摆线下方的面积。这个面积可以通过积分来求解：
𝐴
=
∫
0
2
𝜋
𝑦
(
𝑡
)
𝑑
𝑥
(
𝑡
)
A=∫
0
2π
y(t)dx(t)
由于
𝑑
𝑥
=
𝑑
𝑥
𝑑
𝑡
𝑑
𝑡
dx=
dt
dx
dt，我们可以将积分改写为：
𝐴
=
∫
0
2
𝜋
𝑦
(
𝑡
)
𝑑
𝑥
𝑑
𝑡
𝑑
𝑡
A=∫
0
2π
y(t)
dt
dx
dt
将摆线的参数方程代入，得到：
𝐴
=
∫
0
2
𝜋
𝑟
(
1
−
cos
𝑡
)
𝑑
𝑥
𝑑
𝑡
𝑑
𝑡
A=∫
0
2π
r(1−cost)
dt
dx
dt
计算
𝑑
𝑥
𝑑
𝑡
dt
dx
：
𝑑
𝑥
𝑑
𝑡
=
𝑟
(
1
−
cos
𝑡
)
dt
dx
=r(1−cost)
因此，积分变为：
𝐴
=
∫
0
2
𝑝
𝑖
𝑟
(
1
−
cos
𝑡
)
𝑟
(
1
−
cos
𝑡
)
𝑑
𝑡
A=∫
0
2pi
r(1−cost)r(1−cost)dt
𝐴
=
𝑟
2
∫
0
2
𝜋
(
1
−
cos
𝑡
)
2
𝑑
𝑡
A=r
2
∫
0
2π
(1−cost)
2
dt
𝐴
=
𝑟
2
𝑖
𝑛
𝑡
0
2
𝜋
(
1
−
2
cos
𝑡
+
cos
2
𝑡
)
𝑑
𝑡
A=r
2
int
0
2π
(1−2cost+cos
2
t)dt
利用三角恒等式
cos
2
𝑡
=
𝑓
𝑟
𝑎
𝑐
1
+
cos
2
𝑡
2
cos
2
t=frac1+cos2t2，我们可以进一步简化积分：
𝐴
=
𝑟
2
∫
0
2
𝜋
(
1
−
2
cos
𝑡
+
1
+
cos
2
𝑡
2
)
𝑑
𝑡
A=r
2
∫
0
2π
(1−2cost+
2
1+cos2t
)dt
A = r^2 left[\int_{0}^{2pi} dt - 2int_{0}^{2\pi} \cos t dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} cos 2t dt\right]
由于
∫
0
2
𝜋
cos
𝑡
𝑑
𝑡
=
0
∫
0
2π
costdt=0 和
∫
0
2
𝑝
𝑖
cos
2
𝑡
𝑑
𝑡
=
0
∫
0
2pi
cos2tdt=0（因为
𝑐
𝑜
𝑠
𝑡
cost 和
cos
2
𝑡
cos2t 在一个周期内的积分为零），积分简化为：
𝐴
=
𝑟
2
[
2
𝜋
−
0
+
1
2
𝑐
𝑑
𝑜
𝑡
2
𝜋
−
0
]
A=r
2
[2π−0+
2
1
cdot2π−0]
𝐴
=
𝑟
2
[
2
𝑝
𝑖
+
𝜋
]
A=r
2
[2pi+π]
𝐴
=
3
𝜋
𝑟
2
A=3πr
2
因此，摆线在一个周期内围成的面积是
3
𝜋
𝑟
2
3πr
2
。这个结果表明，摆线的面积与其所在的圆的半径平方成正比，并且与圆的面积（
𝜋
𝑟
2
πr
2
）有一个简单的倍数关系。
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