高中物理 电磁场

Question

如图所示，AB是两块竖直放置的平行金属板，相距为2L，分别带有等量的正、负电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场。A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔中有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为m，电荷量为q(q>0)的小球（可视为质点），在外力作用下静止在轨道的中点P处。一自然长度为L的轻弹簧左端固定在距A板左侧L处挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q。撤去外力释放带电小球，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能。小球从接触Q开始，经过一段时间第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回。由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的1/k（k>l）。求：（1）弹簧第一次压缩到最左边时的弹性势能；（2）小球在与B板相碰之前，最多能与薄板Q碰撞多少次；（3）设A板的电势为零，当k=2、且小孔右侧的轨道粗糙与带电小球间的滑动摩擦力时，求带电小球初、末状态的电势能变化量。

Answer 1

(1)根据能量转化，P到A过程电势能转化为动能，A到弹簧压缩最短，动能转化为弹性势能。
于是第一次压缩到最短Ep=EqL
(2)设小球恰好能与B板相碰的时候（速度为0），电量为q1，
那么Ep=Eq1*2L ，所以q1=0.5q
设小球与Q板碰撞n次后离开时，小球的电量Q=q*(1/k)^n
于是由q1=0.5q=q*(1/k)^n 解得n=logk(2)，k为底的真数为2的对数
当1<k<2的时候，n=2次，小球才与B碰撞
当k>=2，n=1次就能与B碰撞，k=2的时候，小球与Q碰一次返回恰能与B相碰。
（3）初末状态电势能变化为0（相等），具体分析如下，设摩察力 为f
每一次碰撞，小球都会损失1/2的电量于是， 第n次离开Q板返回电场时小球电量qn =q*(1/2)^n
随着电量的减少，小球在电场中受到的电场力也减少，最终将会达到平衡。此时小球将处于末状态，设从初状态到末状态，小球与Q板碰撞了n次，最后由平衡条件
f=Eqn=Eq*(1/2)^n ，得出关系式2^n=Eq/f ----(a)
设第n-1小球与Q板碰撞后返回电场，向右运动的最远离板A的距离为Ln-1，考察从这次到下一次在电场中达到最远距离Ln这个过程，
(Eqn-1 - f)*Ln-1 = (f+0.5Eqn-1)*Ln，
得到Ln/Ln-1 = (Eq+2^n*f)/(2Eq-2^n*f)
前后的电势能之比En/En-1=Eqn*Ln/(Eqn-1 *Ln-1)= Ln/(2Ln-1) = (Eq+2^n*f)/(4Eq-2*2^n*f) ---(b)
那么经过n次碰撞后，达到平衡状态的时候，将（a)带入（b) 得到 En/En-1 = 1，
于是En = En-1 = En-2 =……=E0
于是初末状态小球的电势能变化En- E0 = 0

Answer 2

（1）由于题意得，上述过程的碰撞能量没有损失。所以能量守恒。即p点的能量等于弹簧第一次被压缩到最左边的能量！又小球在P点位置的电势能E总=Ep=q*E*L.得到弹簧第一次被压缩到最左边的位置时的电势能E=q*E*L.
(2)设第n次小球可以到达B面，即要求小球的能量足以克服电场力作负功到达B面。
第n次小球克服电场力作负功的： E=（1/k)^n*q*E*2L
小球的能量E1=q*E*L , E1>=E
q*E*L>=(1/K)^n*q*E*2L -----式子1 易得n=
（3)在忽略小孔右侧的轨道粗糙与带电小球间的滑动摩擦力把k等于2代入式子1得的n=1 ，且易得小球刚好到达b面！！！但又要考虑小孔右侧的轨道粗糙与带电小球间的滑动摩擦力。所以小球达到不了b面！！小球会一直作来回运动直到能量为零！！！！！此时初始的变化量位q*E*L