裴波那契数列

Question

斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21，……
1、试列出裴波那契数列的首15项.
2、计算每一项与其下一项的比.（答案精确到0.01）
3、观察第（2）小题各项的比，当被除数和除数越大时，所求的比接近哪一个数？

Answer 1

如果设所求的数列通项为a(n),那么由于这个数列的相邻两项的差为裴波那契数列，所以我们可以得到弟推式：a(n+1)-a(n)=f(n)．由这个弟推公式我们可以得到以下一些式子：a(2)-a(1)=f(1)
a(3)-a(2)=f(2)
a(4)-a(3)=f(3)
.............
a(n-1)-a(n-1)=f(n-1)
a(n)-a(n-1)=f(n-1)
将功赎罪以上式子左右对加我们可以很容易地得到：
a(n)-a(1)=f(1)+f(2)+...+f(n-1)=s(n-1)(是斐波那契数列的前n-1项和），那么至此，我们的问题就转化为了求斐波拉契数列的前n项和的问题了，下面将给出斐裴波那契数列的前n项和的过程．
我们早已知道，对于斐波那契数列f(n)来说我们有这样一个递推公式，即：f(n+1)=f(n)+f(n-1)(n.2),由这个式子的们可以得到：f(n-1)=f(n+1)-f(n)s,由此我们可以得到：
f(1)=f(3)-f(2)
f(2)=f(4)-f(3)
f(3)=f(5)-f(4)
.............
f(n-1)=f(n+1)-f(n)
f(n)=f(n+2)-f(n+1)
将以上n个式了左右对加可以得到：
f(1)+f(2)+f(3)+.....+f(n)=f(n+2)-f(2)=f(n+2(-1=s(n).这个式子说明斐波那契数列的前n项和恰好为斐波那契数列的第n+2项减1．
现在，斐波那契数列的求和问题我们也解决了，
由前面得到的那个式子可知a(n)-a(1)=s(n-1),由于a(1)=0.所以：a(n)-0=a(n)=s(n-1)=f(n+1)-1={[(1+√5)/2]^(n+1)-[(1-√5)/2]^(n+1)}/√5
-1

Answer 2

3越来越接近(√5-1)/2
这个可以用数列的定义来证明
F(n+1) = F(n) + F(n-1)
设F(n+1)/F(n) = k
那么F(n)/F(n-1) = k
那么k^2=k+1
解这个方程得k = (√5+1)/2
所以相邻两项比为(√5-1)/2本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

3越来越接近(√5-1)/2
这个可以用数列的定义来证明
F(n+1) = F(n) + F(n-1)
设F(n+1)/F(n) = k
那么F(n)/F(n-1) = k
那么k^2=k+1
解这个方程得k = (√5+1)/2
所以相邻两项比为(√5-1)/2

Answer 4

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610
....

1/2

Answer 5

递推公式是A(n+2)=A(n+1)+A(n)
所以特征方程是x^2=x+1
解出x1=(1+根号5)/2,x2=(1-√5)/2
所以通项公式是An=C[(1+根号5)/2]^n-D[(1-根号5)/2]^n，其中C和D是待定系数
把已知的项代进去就能确定C，D了
试试吧～～