立体几何中的向量方法求点面距离和异面直线间距离，公式是怎么得出来的，具体过程？

Question

1.点到平面的距离：设v是平面α的法向量，P为α外一点，A为α内任一点，P到平面α→的距离为d，则d=|v·PA|／|v|
2.异面直线间距离：设直线n是与异面直线a，b都垂直的向量，A，B分别是a，b上任意一点，d为a，b的距离，则d=|AB·n|／|n|
怎么得出这两个公式？

Answer 1

1.点到平面的距离：设v是平面α的法向量，P为α外一点，A为α内任一点，P到平面α→的距离为d，则d=|v·PA|／|v|
解析：设已知一平面α的法向量v=(x1,y2,z1)，P为平面外一点，向量AP=(x2,y2,z2)
∵cos<向量v,向量PA>=|向量v·向量PA |/|向量v|·|向量PA |

又cos<向量v,向量PA>==d/|向量v|
即，D到平面α的距离为向量在平面法线上的投影
∴d=|向量v·向量PA |/|向量PA |

2.异面直线间距离：设直线n是与异面直线a，b都垂直的向量，A，B分别是a，b上任意一点，d为a，b的距离，则d=|AB·n|／|n|解析：这一公式与上面点到平面的距离公式，本质上是一回事
∵n是与异面直线a，b都垂直的向量
设直线a∈面α，直线b//面α
∴向量n为面α的法向量
又A是直线a上任一点，∴A是平面α内一点
B为平面外，直线b上任一点
∴B到面α的距离等于二异面直线的距离
∴套用上面的公式
得d=|向量AB·向量n|/|向量n|追问

谢谢你的回答，可是你的第一个公式好像和我给出的有点不太一样啊

追答

公式应该是一样的，我在输入是消错了更正如下：
设已知一平面α的法向量v=(x1,y2,z1)，P为平面外一点，向量AP=(x2,y2,z2)
∵cos=|向量v·向量PA |/|向量v|·|向量PA |

又cos==d/|向量PA|
即，D到平面α的距离为向量在平面法线上的投影
∴d=|向量v·向量PA |/|向量v |

Answer 2

这种公式是民间的一种推导，教材中是没有的

其他复习材料上也许有

 

 

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Answer 3

这个教材有证明，设异面直线l1和l2交角为θ，公垂线段长d,l1和l2上有2点A和B，A和B到公垂线端点距离为m和n，则有AB=(m^2+n^2+d^2±2mncosθ）^(1/2)
其中正负号视A和B的关系而定。

Answer 4

了解公式的本质，利用了投影，射影