高等数学：空间曲线的切线与曲面的切平面法向量

Question

混乱了，请教如何区分，解释清楚很难，看简单例子：

空间曲线x=t,y=t^2,z=t^3在点（1，1，1）的切线，方法是对它们分别求导，然后代入（1，1，1），得出切线方向向量T=（1，2，3）

球面x^2+y^2+z^2=14在点(1,2,3)处切平面，即要求该平面的法向量就能知道平面方程了。答案是对x，y，z分别求导，得（2x,2y,2z）代入(1,2,3)得出n=(2,4,6)是法向量。

疑问就是：两个都是分别对x，y，z求导，然后代数，可是一个却是切线方向向量，另一个却是法向量，很是迷惑。求简要通俗的解释，谢谢！

Answer 1

一个是x,y,z都对参数求导，一个是一个方程对应的三元函数对x,y,z的求导。
第一个与平面曲线的切线方程的求法一脉相承。平面曲线的参数方程是x=x(t),y=y(t)，切线的斜率是割线斜率的极限，得到斜率k=dy/dx＝y'(t)/x'(t)，写成方向向量的形式的话，是(1,dy/dx)=(1,y'(t)/x'(t))//(x'(t),y'(t))，这个方法应用于空间曲线，即为你所写。
第二个，曲面的方程是z=f(x,y)，过曲面上一点处的所有曲线的切线组成一个平面，即曲面的切平面，其法向量是(αz/αx,αz/αy,-1)，若曲面的方程是F(x,y,z)=0，则法向量(αz/αx,αz/αy,-1)=(-Fx/Fz,-Fy/Fz,-1)//(Fx,Fy,Fz)。
看清楚曲线与曲面的方程的区别