用多元函数求极值的方法计算点（2，8）到抛物线Y^2=4X的最短距离

Question

请高数帮帮忙

Answer 1

设平面上任意一点P(x,y)
P到点(2,8)的距离为: √[(x-2)^2+(y-8)^2]
因此, 求得根号里面的式子的最小值即求得最短距离.
用拉格朗日乘子法:
L(x,y,λ)=(x-2)^2+(y-8)^2+λ(y^2-4x)
令▽L=0, 即
L'x=0, L'y=0, L'λ=0
即:
x-2=2λ……(1)
y-8=λy……(2)
y^2=4x……(3)
简单判断一下, λ≠0.(因为λ=0时x,y无解)
(1)/(2)得: y=-16/(x-4)……注: 因为x=4, y无解, 故x≠4
将此结果带入(3), 消x, 得:
y^3-4y+16=0. 用卡尔丹公式去解.