两道数学题目！重赏！

Question

1 如图，在平行四边形ABCD中，已知AE交BC于点E，交BD于点F，且BE^2=EF×EA.求证:AB^2=BF×BD 图:
2 如图,在矩形ABCD中,BC=8,AB=6,DP⊥AC,PM⊥AB,PN⊥BC,求PM:PN的值 图:

Answer 1

1)BE^2=EF×EA,变形得BE/FE=AE/BE
因为角AEB=角BEF,所以三角形AEB相似于三角形BEF,所以角BAE=角=FEB,因为AD平行BC,所以角FEB=角ADB,所以角BAE=角ADB,即BAF=角BDA
又因为角FBA=角ABD,所以三角形BFA相似于三角形BAD
所以BF/BA=BA/BD,所以AB^2=BF*BD

2)勾股得AC=10,DP=8*6/10=4/8,勾股得AP=6.4,CP=3.6
因为PM⊥AB,所以MP平行AC,所以三角形AMP相似于三角形ABC
所以MP/BC=AP/AC=6.4/10=16/25,所以MP=16/25*8=128/25
因为PN⊥BC,所以NP平行BA,所以三角形CNP相似于三角形CBA
所以NP/BA=CP/CA=3.6/10=9/25,所以NP=9/25*6=54/25
所以MP/NP=128/25/(54/25)=64/27

或者
勾股得AC=10,DP=8*6/10=4/8,勾股AP=6.4,CP=3.6
三角形AMP相似于三角形PNC相似于三角形ABC
所以MP/AM=NC/PN=BC/AB=4/3,所以NC=4/3(PN)
且PN/AM=PC/AP=3.6/6.4=9/16
所以MP/AM*(NC/PN)=16/9
MP/NP*(NC/AM)=16/9
MP/NP*[4/3(PN)/AM]=16/9
MP/NP*4/3*(9/16)=16/9
MP/NP*3/4=16/9
MP/NP=64/27

Answer 2

1.因为 BE^2=EF×EA
所以 BE:AE=EF:BE
所以 △BEF相似于△ABE
所以 角EBF=角BAE
因为 四边形ABCD是平行四边形
所以 AD平行于BC
所以 角EBF=角ADB
所以 角BAE=角ADB
因为 角ABD=角ABD
所以 △ABF相似于△DBA
所以 AB:BD=BF:AB
所以 AB^2=BF×BD
2. 因为 角B=角PMB=角PNB=角MPN=90°
所以 四边形BNPM是矩形
所以 矩形ABCD相似于矩形BNPM
所以 PM:PN=AD:CD-4:3

Answer 3

1因为BE^2=EF×EA（你去把换成除法的比），可以得出三角形ABE和三角形BFE相似，所以角FBE等于角BAE，又因为ABCD为平行四边形，所以，AB平行于DC，所以角FBE等于角BAE等于角ADB，又因为角ABF等于角ABD（同角，公共角），所以三角形ABF相似于三角形ABD，所以AB^2=BF×BD（化成除法的比自己看）
2先计算出三角形ABC的面积,在计算出三角形ADC的面积,用勾股定理计算出AC,在用面积法计算出DP,再用勾股定理计算出PC,证明三角形ABC和三角形AMP相似,用相似比计算出PM和PN,在相比。最后的答案是4:3。

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