求点到直线的距离的几何法为什么会用到三垂线定理将立体几何问题转化为平面几何中解三角形问题

Question

还有向量法的那个公式是怎么推得的？点到平面距离怎么又起定义转化为解直角三角形？能回答一个就写一个吧，最好先打第一个，谢谢

Answer 1

我说一下第一个问题，既然是距离，肯定是两点之间，点到直线的距离-----要在直线上找一个点，距离又要求最短，那么就是垂足点。此为基础。在此基础上，我们有：一条直线和不在此直线上的一点确定一个平面。于是空间问题就转化为一个平面问题。但是问题是垂足在三维中是不容易取得的，在平面容易些，所以大多数题目给出的是点到直线上某一点（不是垂足点）的距离，所以需要用三垂线定理转化。

总之，点到平面（直线所在的平面）的距离、点到直线（平面上的直线）距离、点到直线上的点的距离 三个中知道两个可以利用“垂直于平面上两条相交直线的直线必然垂直于平面上所有的直线”这一定理以及推论--三垂线定理求解第三个。

Answer 2

郭敦顒回答：
点到直线的距离的几何法，因该点和直线处在空间并与空间中的几个平面密切相关，比如平面M上有直线AB⊥CD于E，M外有一点P，且PD⊥M于D，求点P到直线AB的距离，这就用到三垂线定理。
在平面M上有两向量OA和向量OB，若向量OA×向量OB=向量OC（向量积，叉积，叉乘），则
向量OC⊥向量OA，向量OC⊥向量OB。
（向量积定义：若有向量OC⊥向量OA，向量OC⊥向量OB，则有
向量OC=向量OA×向量OB，向量OC称为向量OA与向量OB的向量积，也称为叉积，叉乘）
显然，|CA|²=|OA|²+|OC|²；|CB|²=|OB|²+|OC|²。这就涉及到了直角三角形的勾股定理问题。本回答被提问者和网友采纳