一个均质细杆可绕水平轴o无摩擦转动，当它静止于图中所示位置释放后在竖直位置和一个小球发生完全非弹性碰

Question

求系统碰撞后瞬间的角速度

Answer 1

先计算细杆的转动惯量。细杆以质心为轴的转动惯量为M（3L）^2/12=9ML^2/12，这根细杆的转动轴不在质心，而是被平移了L/2，所以转动惯量会增加M（L/2）^2=ML^2/4。
所以实际的转动惯量J=9ML^2/12+ML^2/4=ML^2。
初始状态，细杆的重心在O点以上0.5L*sin30°=L/4。
细杆转到竖直位置，重心在O点以下L/2处。
所以整个过程中细杆的重心下移了3L/4。
那么，细杆的重力势能降低了3Mg/4L。
根据动能定理，细杆增加的动能就等于减小的重力势能。
而转动的刚体的动能，可以用如下的公式表示，E=0.5*Jω^2。ω代表细杆定轴转动的角速度。
所以一定有0.5*Jω^2=3Mg/4L…………（1）。而J=ML^2，因而可以求出角速度。
刚体对于转轴的角动量，可以表示为L=Jω
对（1）式两边乘上2J，再开方，可以得到L=Jω=Msqr(3gL/2)，sqr()，代表对括号里的量开平方。
由于小球静止的，所以这个角动量也就是这个系统碰撞前的总角动量。由于是完全非弹性碰撞，所以碰撞后小球会和细杆粘在一起，以相同的角速度运动。假设这个角速度为ω1。
小球对O点的转动惯量J1=mL^2。
根据角动量守恒L=L求+L杆
带入数值Msqr(3gL/2)=J1ω1+Jω1=(mL^2+ML^2)ω1
解得碰撞后小球和细杆的共同角速度ω1=Msqr(3gL/2)/(mL^2+ML^2)。