复变函数 求Res[(e^z-1)/z^6,0] 还有判断敛散性的两题

Question

如题所述

Answer 1

Res[(e^z-1)/z^6,0] =1/5！=1/120，（这个根据洛朗级数求较简单）

第一，二都绝对收敛追问

留数那可以写出详过程吗？

追答

针对这个题而言，用洛朗展式来求奇点的留数是比较容易得
先来看留数和洛朗展式的关系吧：假如a是f（z）的一个奇点，那么在a点的留数就是在a点的洛朗展式中（z-a）^(-1)的系数
那么(e^z-1)/z^6的0点的洛朗级数为
(e^z-1)/z^6=1/（z^5）+(1/2！)(1/z^4+……+（1/5！）(1/z)+1/6!+……
那么Res[(e^z-1)/z^6,0] =C[-1]=1/5!，(C[-1]表示z^(-1)的系数)