已知集合P={x |x²-4px+2p+6=0}，Q={x |x＜0,x∈R}，若P∩Q≠∅，求实数p的取值范围

Question

立马要，求求各位大侠

Answer 1

P∩Q不是空集，因集合A是方程x²－4px＋(2p＋6)=0的根的集合，则：必须使得方程有大于等于0的根即可。
设：y=x²－4px＋(2p＋6)，那可以先求出P∩Q=空集的实数p的范围，然后再取这个范围的补集。
(1)若P就是空集，此时P∩Q等于空集。则：
△=(4p)²－4(2p＋6)<0
2p²－2p－3<0
得：－1<p<3/2 -----------------------------------------------------(1)
(2)若P不是空集，则要使得P∩Q等于空集，则只要方程两根非负即可，得：
①△≥0，得：p≤－1或p≥3/2；
②x1＋x2=4p≥0，得：p≥0；
③x1x2=2p＋6≥0，得：p≥－3
综合①、②、③，得：p≥3/2 ------------------------------------(2)
综合(1)、(2)，得P∩Q等于空集时，有：p≥－1
从而，要使得P∩Q≠φ，则：p<－1

Answer 2

1.P=∅
Δ=16p²-4(2p+6)
=16p²-8p-24
=8(2p²-p-3)
=8(2p+1)(p-3)<0
-1/2<p<3
2.
x1>=0,x2>=0
x1+x2=4p>=0
x1x2=2p+6>=0
p>=0
p>=-3
所以
p>=0
是
实数p的取值范围：p>-1/2

Answer 3

即P有负根

有根则16p²-8p-24>=0
(2p-3)(p+1)>=0
p<=-1,p>=3/2

假设没有负根
当2p+6=0时
p=-3
x1x2=0
则一正1个0
所以x1+x2=4p>0
不符合p=-3

若都是正跟
则x1+x2=4p>0
x1x2=2p+6>0
所以p>0
所以有负根是p<=0
综上
p<=-1

Answer 4

解答：
集合P={x |x²-4px+2p+6=0}，Q={x |x＜0,x∈R}，若P∩Q≠∅
考虑反面：P∩Q=∅，即方程x²-4px+2p+6=0没有负根
（1）方程x²-4px+2p+6=0没有根
则△=(4p)²-4(2p+6)<0
即 2p²-p-3<0
∴ (p+1)(2p-3)<0
∴ -1<p<3/2
（2）方程只有非负根
则①△=(4p)²-4(2p+6)≥0
即 2p²-p-3≥0
∴ (p+1)(2p-3)≥0
∴ p≤-1或p≤3/2
②两根之和≥0
即4p≥0
即p≥0
③两根之积≥0
即 2p+6≥0
∴p≥-3
∴ p≥3/2
综上，p的取值范围是p>-1

所以本题的p的范围是p≤-1

Answer 5

解
因为Q={x |x＜0,x∈R}，若P∩Q≠∅
所以方程x²-4px+2p+6=0的解的情况是：
无实数解、两个解非负（≥0）
（1）当无实数解时
△=16p²-4（2p+6）=16p²-8p-24＜0
解得 -1＜p＜3/2
(2)当为两个非负数解（含两个相等非负实数解）时
△=16p²-8p-24≥0
两根之和=4p≥0 （韦达定理）
两根之积=2p+6≥0 （韦达定理）
解得p≥3/2
综合（1）（2）得
实数p的取值范围是 p＞-1