克莱因四元群的群代数

Question

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Answer 1

我已决定只放弃抽象几何，即放弃对仅有智力训练意义的问题的思考。而这是为了研究另一种以解释自然界现象为目标的几何。 ——笛卡尔

数学史中充满了光辉的成就，但它同时也是一部灾难的记录。真理的丧失当然是最重大的悲剧，因为真理是人类最珍贵的财富，即使丧失一个也足以令人扼腕。对数学的另一个打击是意识到人类推理的成就所展示的结构绝非完美，而是有着种种缺陷，对任何时候发现的灾难性的悖论都不堪一击。但这还不是伤心的唯一原因。深深的怀疑以及数学家们之间的分歧来自于在过去一百年中研究方向的不同。大多数数学家从现实世界中退缩而关注于数学之中产生的问题。他们放弃了科学。这个方向作为应用数学的对立面而被称为纯数学。但是应用的和纯粹的这些术语并不能十分精确地说明所发生的变化。

数学是什么？对于前人来说，数学首先是人们为研究自然界而做出的最精致的发明。数学的主要概念、广博的方法，以及几乎所有的重要定理都是在这一过程中推导出来的。科学一直是维持数学生命力的血液。在科学领域中，数学家是物理学家、天文学家、化学家及工程师的热心同伴。事实上，在17、18世纪以及19世纪的绝大多数时间里，数学与理论科学的区别很少被注意到，而且许多杰出的数学家在天文学、力学、动力学、电学、磁学及弹性理论中所做的工作远超过他们在数学中的工作。数学是科学的王后，同时也是它们的女仆。

我们已经叙述了（第一章至第四章）自希腊时期起为了揭示自然界的数学奥秘的漫长努力，这种致力于自然界的研究并没有把所有的应用数学束缚于物理问题的求解。伟大的数学家们时常越过科学中的眼前问题，因为他们大智大慧，深刻了解数学的传统作用，并且能够明确那些在科学事业中被证明是具有重大意义的方向及澄清那些对研究自然有帮助的概念。彭加勒在天文学上投入数年功夫，写出了巨著《天体力学》，他看到了探求微分方程中新的主题之必要性，它也许最终会推动天文学。

有些数学上的研究导致并且完善了一些已被证明有用的学科。如果在一些不同的应用中用到了同一类型的微分方程，则为了发现改进的或一般的解法，或为了尽可能多的了解关于整个解族的情况，数学家们会研究一般类型。正是数学的这种高度抽象的特点，使得它可以表示完全不同的物理现象。因此，水波、声波及无线电波都用一个偏微分方程来表示。事实上，这一方程被称为波动方程。通过对波动方程本身的进一步考察而获得的其他数学知识，首先起源于对于声波的研究。由现实世界中的问题而获得的丰富结构，可以由认识到在不同情况中的相同数学结构及其共同的抽象基础得到加强。

为了保证物理问题的数学方程有解，柯西率先建立微分方程的存在性定理，这样才能充满信心地寻求这个解。因此，尽管这项工作完全是数学的，但它却有着深远的物理意义。康托尔的关286于无限集的工作导致了纯数学上的许多探讨，但它首先是受他试图解决关于傅立叶级数的极为有用的无穷级数的问题激发的。

数学的发展要求对独立于科学的问题进行探求。我们看到（见第八章）19世纪的数学家已经意识到许多概念的含混不清以及它们论据的不足。追求严密性的这一广泛运动的本身当然既不是对科学问题进行探讨，也不是几个学派重建基础的尝试。所有这项工作虽然是致力于数学，但显然是对整个数学结构的迫切需要的反应。

简而言之，有许多纯的数学研究完成了或加强了旧的领域，甚至开辟了新的领域，它们对探索应用意义重大。所有这些方向的研究都可以看作是具有广泛意义的应用数学。

那么一百年前就没有单纯地为其自身、而不是为实用而创建的数学吗？有的。一个突出的例子就是数论。尽管毕达哥拉斯认为对整数的研究是对实际物体的构成的研究（见第一章），但是数论很快就由于它自身的原因引起了人们的兴趣——它是费马的主要课题。文艺复兴时期的艺术家们为了获得绘画中的真实感而创建了投影几何，笛萨格从事了这方面的研究。帕斯卡提出了欧氏几何的更高级方法，使之在19世纪成了纯美学的研究，尽管即使在那时这种研究也是由于它与非欧几何的重大联系。许多其他的研究课题则纯粹是由于数学家发现它们有趣或富有挑战性。

然而，与科学完全无关的纯数学不在主要的考虑之列。从科学引起的更富生命力且令人极感兴趣的问题中分离出来，这只是一种嗜好。尽管费马是数论的奠基人，但他更多的精力是投入到解析几何的发明、微积分问题以及光学（见第六章）。他试图引起帕斯卡和惠更斯对数论的兴趣，但是失败了。17世纪，很少有人会对这类学科产生兴趣。

欧拉确实在数论上花了一些功夫，但欧拉不仅仅是一个18世纪卓越的数学家，他也是卓越的数学物理学家。他的研究范围从解决物理问题的数学方法如微分方程求解，到天文学、流体运动、舰船的设计、火炮、制图、乐器理论以及光学。

拉格朗日也在数论上投入了一些时间。但是他也同样把他毕生大部分精力花在了对应用至关重要的数学——分析之上（见第三章）。他的代表作是《分析力学》，讨论数学在力学中的应用。事实上，在1777年他抱怨道：“算术研究给我带来了极大的麻烦，而且也许毫无价值。”高斯也在数论方面作出了令人瞩目的成就，他的《算术研究》（1801年）是一部经典名著。如果只看这部著作，则很容易相信高斯是个纯数学家，但他的主要精力却放在了应用数学中（见第四章）。克莱因在他的19世纪数学史中称《算术研究》为高斯青年时期的作品。

虽然高斯在晚年确实回到了对数论的研究，但他显然不认为这一学科十分重要。证明费马大定理问题即没有大于2的整数满足xn+yn=zn，常常困扰着他，但在1816年3月21日写给奥尔帕斯(Wilhelm Olbers)的一封信中，高斯称费马猜想是一个孤立的定理，没有什么意义。他还说，有许多既不能证明也不能证伪的猜想，但他是如此繁忙，以至于没有时间去考虑他在《算术研究》中所做过的那类工作。他希望费马猜想也许能在他所做的别的工作基础上得到证明，但那将是最无意义的推论了。

高斯曾说 “数学是科学中的王后，而数论是数学中的王后。她经常屈尊降贵为天文学及其他自然科学助一臂之力，但无论如何，她总是处在最重要的位置。”这说明了他对纯数学的偏爱。但高斯的毕生事业并没有遵从这句话。他很可能只在某些闲暇的时候做到了这一点。他的格言是：“你，自然，我的女神：对你的规律，我的贡献是有限的。”富有讽刺意义的是：通过有关非欧几何的工作，他对于数学与自然一致性的一丝不苟的证明，对怀疑数学的真理性起着深远的影响。对于1900年以前所创建的数学，我们可以得出一般的结论：存在纯粹数学，但不存在纯粹的数学家。

一些进展奇妙地改变了数学家们对自己工作的态度。首先是认识到数学并非一个关于自然的真理体系（见第四章）。高斯在几何中使这一点很清楚，而四元数及矩阵迫使人们意识到这一点，亥姆霍兹理解得更透彻——即使是一般的数的数学也并非是可用的先验理论。数学的实用性虽说无懈可击，但对真理的探求不再证明数学的努力全然正确。

此外，像非欧几何和四元数这些重大的发展尽管是受物理思考的启发，显得与自然不一致，但其导出的发明是实用的。人们认识到人为的发明同那些看起来遵从自然界的固有规律的事物一样有意义，这很快成为全新的数学方法的一个论据。因此，许多数学家得出结论：没有必要去研究现实世界中的问题，人为的数学来源于人的大脑并肯定将会被证明是有用的。事实上，不受限于物理现象的纯思维，也许会做得更好。不受任何约束的想象力也许能创造出更为有力的理论，而它们同样能在理解和掌握自然中找到应用。

还有其他的原因使得数学家们逃离了现实世界。数学和自然科学的巨大扩展，使得在两个领域中得心应手变得十分困难，而以前的巨匠们钻研过的科学问题更加难解了。既然如此，为什么不立足于纯数学，以使研究更简单呢？

使得数学家们着手于纯数学问题的另一因素是：自然科学的问题很少能彻底解决。人们可以得到越来越好的近似解，但得不到一个最终的解答。一个基本问题——例如三体问题，即像太阳、地球及月球这样的三个天体，每一个都靠万有引力吸引着其他的两个，它们的运行规律还没有解决。正如培根所言，自然界的精巧远胜于人类智力。另一方面，纯数学允许明确的有所限制的问题，其完全解是可以得到的，把明确的问题与复杂度和深度无限的问题相对立这一点颇为有趣，即使是像哥德巴赫猜想这样的至今尚未征服的少数难题，也有着极富诱惑力的论述上的简洁性。

另一促使数学家从事纯数学问题研究的因素是来自大学之类机构的出版成果的压力。由于应用问题需要除了数学之外的自然科学的丰富知识，这就使那些待解决问题愈加困难，因此，提出自己的问题并尽力解决就容易得多了。教授们不仅自己选择那些易于求解的纯数学问题，还把它们指定给他们的博士，以便他们可以很快地完成学位论文，同时教授们也能够更轻易地帮助他们克服所遇到的困难。

几个现代纯数学所循方向的例子可以使纯数学与应用数学的区别更清楚。一个领域是抽象化。自从哈密尔顿引入了他在思维中赋与了物理应用的四元数后，其他数学家意识到可以有多种代数，而不顾其有无潜在实用性。这一方面的研究结果充斥了今日的抽象代数领域。

纯数学的另一方向是一般化。圆锥曲线——椭圆、抛物线、双曲线——代数上以二次方程来表示，有一些以三次方程表示的曲线也具有实用意义。一般化的研究一下子跳到n次方程所表示的曲线，而且对其性质进行了详细的研究，尽管这些曲线根本不大可能在自然现象中出现。

通常，具有一般性或抽象性的论文毫无实用价值。实际上，大多数这样的论文致力于把当前存在的用具体明确的语言描述的公式用更一般的、更抽象的或新的术语进行重新公式化，而这样的重新公式化对于应用数学的人来说，既不能提供更为有力的方法，也不能提供更深刻的见解。这些增加的术语大部分是人造的，与物理思想无甚联系，但据称能提出新的思想，当然并不是对数学应用的贡献而是阻碍。它是新的语言，但不是新的数学。

纯数学研究的第三个方向是专门化。欧几里得考虑和回答是否有无穷大的素数。现在“自然”的问题则是是否任何七个连续整数中有一素数。毕达哥拉斯引入了亲和数的概念。如果一个数的因子之和等于另一个数，则称这两个数为亲和数。例如，284和220就是亲和数。列奥纳多·迪克森，杰出的数论专家，引入了三元亲和数：“我们说三个数构成三元亲和数，如果其中一个数的真因子之和等于另外两数之和。”他还提出了如何寻找这类数的问题。另一个例子是关于强大数(powerful number)的。一个强大数是这样一个正整数，如果它能被素数p整除，则也能被p2整除。有没有（除1和4之外）正整数其可用无穷多种方法表为两个互为素数的强大数之差呢？

选择这些专门化的例子，是由于它们易于陈述和理解。它们并不能完全代表这类问题的复杂性和深度，然而，专门化已经变得如此广泛，而且问题是如此狭窄，以致于没有几人能弄懂它，就像当初相对论问世时，全世界仅有12人懂得它。

专门化如此泛滥，以致于并不致力于应用数学的大多数布尔巴基派成员也认为必须提出批评了。

许多数学家在数学王国的一角占据了一席之地，并且不愿意离开。他们不仅差不多完全忽略了与他们的专业领域无关的东西，而且不能理解他们的同事在远离他们的另一个角落使用的语言和术语。即使是受过最广博的训练的人在浩瀚的数学王国的某些领域中也感到迷茫，像彭加勒和希尔伯特这样的人，几乎在每个领域都留下他们天才的印迹，甚至在最伟大的成功者中也是少而又少的极其伟大的例外。

专门化的代价是创造力的枯竭，专门化需要鉴赏力，因为它很少提供有价值的东西。

抽象化、一般化和专门化是纯数学家从事的三类活动。第四类是公理化。毫无疑问，19世纪末的公理化运动是有助于加固数学的基础的，虽然它并没有为解决基础问题划上句号，但一些数学家从此却开始了对新创的公理体系的细枝末节的修改。有些人可以通过重述公理，使表述更为简洁。有人则通过繁琐的文字叙述把三条定理合为两条。还有一些人则选择新的未定义概念，通过重新组织那些公理因此而得到与原来相同的理论体系。

如我们看到的，并非所有的公理化都毫无用处，但所能做的这些修修补补实在是意义不很大。解决实际问题要求人们全力以赴，因为必须面对这些问题，但公理化却允许各种各样的自由。它基本上是人们深层次结果的组织，但是人们是否选了这一组公理而不是那一组，是15条还是20条，是无关紧要的。实际上，甚至一些杰出的数学家也曾花费过时间来研究过各种各样的变体，它们被贬斥为“微不足道的假定”。

本世纪的最初几十年中在公理化上花的时间和精力是如此之多，以致于魏尔在1935年抱怨说公理化的成果已经穷尽。尽管他很清楚公理化的价值，他还是恳求人们回到实际问题上来。他提出公理化只是对实在的数学赋于精确性和条理性，它是一个分类函数。

不能把所有的抽象化、一般化、专门化问题以及公理化看作是纯数学。我们已指出这样一些工作及基础研究的价值，我们必须了解这项工作的动机。纯数学的特征是它不具有直接或间接应用意义。纯数学的实质在于问题就是问题，有些纯数学家分辩说，任何数学发展都具有潜在的实用价值，只是没有人能预见到其未来的应用。不过，一个数学主题犹如一块蕴藏石油的土地，表面的黑色坑洼可能提示出一个特定的开采石油的地点，如果发现了石油则这块土地的价值也就确定了。被证实的价值保证了在离它不太远处继续钻井有望找到更多的石油。当然，也可以选择一个离它很远的地方，因为这里钻井比较容易，而且仍然有望获得石油。但人的精力和智力有限，因此应当投入到把握较大的冒险中。如果目标是潜在的应用，那么，正如杰出的物理化学家吉伯斯（Josian Willard Gibbs）所言，纯数学家可以无所顾忌，为所欲为，而应用数学家至少应保持一点清醒的头脑。

对纯数学——为其本身意义而存在的数学——的批判可追溯到培根的《学术的进展》（1620年）。他反对纯粹的、神秘的、自足的数学，说它“完全脱离实际和自然哲学的原理，只是满足了这样一些人的胃口，他们希望阐述和了解对人的头脑并不重要的东西。”他这样理解应用数学：

自然界的许多部分不能没有数学的帮助或介入，必须靠足够的精巧来发明，或足够的娴熟技巧来显示，或足够的熟练来帮助应用，包括透视学、音乐、天文学、宇宙结构学、建筑学、机械学及其他……。因为随着物理学的日新月异的发展及新的公理的推出，它将会在许多方面有求于数学新的帮助。因此应用数学的混合部分就变得益发多了。

在培根的时代，数学家对于物理研究的关注毋须多提，但今天的事实是他们逃离了自然科学。在过去的100年中，在那些恪守古老的、高雅的数学活动目的——这一目的到那时为止提供了实质性和丰富的主题——的人和那些听凭兴趣所至从事研究的人之间产生了分裂。如今，数学家与科学家分道扬镳，比较新的数学发明少有实用价值，而且，数学家和科学家不再互相理解。令人不安的是随着专门化的日益深化，数学家甚至不再了解其他的数学家。

脱离“现实”，为了其自身原因而进行研究的数学，几乎从一开始就激起了反对。在傅立叶的经典著作《热的分析理论》（1822年）中，他热情地称颂数学在物理问题中的应用：

对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉，这种研究的优点不仅在于有完全明确的目的性，还在于排除含糊不清的问题和无用的计算。它是物筑分析本身的一种手段，也是发现最重要的，自然科学必须始终保持的思想的一种方法。而基本的思想是那些表示自然现象的思想。……

它的主要特征是清晰，没有令人迷惑的符号，它把截然不同的现象放到一起，发现它们隐含的相似性。如果物质绕开我们，比如空气和光，那是因为它们特别稀薄；如果物体被固定在远离我们的无限的宇宙中，如果人类想要了解长时间来天体的运行，如果重力和热能在一个固体球体内部深不可测的地方永恒地作用着，数学分析还是能抓住这些现象的规律，并使它们表面化且可测，就像注定要用人类的推理能力来补偿生命之短暂和感官之不完善；而更奇妙的是，在对所有的现象进行研究时，它遵循同样的方法，为了验证宇宙设计的统一性和简洁性，使统治所有自然事物的永恒秩序更清晰，它用同样的语言来诠释一切。

尽管雅可比在力学和天文学中做出第一流的工作，但他却向他认为至多是一面之词的论点提出了异议。1830年7月2日，他写信给勒让德说：“傅立叶确实认为数学的主要目标是公众的利益和对自然现象的解释；但像他这样的科学家应该知道自然科学的唯一目标是人类精神之荣耀，而且依此为据，数论问题和一个关于行星系的问题同等重要。”

当然数学物理学家们并不偏袒雅可比的观点。汤姆逊(Willian Thomson）和泰特（PeterGuthrieTait）在1867年称最好的数学是由应用提出的，它会产生令人惊讶的纯数学的理论，但那些把自己囿于纯粹分析或几何的数学家们却不能达到那个富饶美丽的数学真理之乡。

许多数学家也为新的纯粹研究的趋势忧心忡忡，1888年克罗内克写信给数学、物理及医学上都颇有建树的亥姆霍兹说，“你的合情合理的实际经验与有趣的问题造成的财富将给数学家们指明新的方向，注入新的动力。……片面而过分内省的数学思维把人们带向不毛之地。”

1895年，当时数学界的领袖人物F·克莱因也感到有必要反对这种抽象的纯粹数学趋势：

在现代思维的急速发展中，我们禁不住要担心，我们的科学面临着越来越独立的危险。自现代分析兴起以来，对数学和自然科学双方都有裨益的二者之间的紧密联系，正面临着被破坏的危险。

在他《陀螺的数学理论》（1897年）中，克莱因又回到了这一问题：

当今数学科学中最大的需要是纯数学和自然科学的各个分支——在此以后将找到它最重要的应用——应当再一次建立起紧密的联系，这一联系在拉格朗日和高斯的工作中已被证明是极富成果的。

彭加勒在他的《科学与方法》中尽管对某些19世纪后期的纯逻辑创造颇有微词（见第八章），但还是承认公理化、不一般的几何及奇特函数向我们显示了当人们的智力越来越多地从外部世界的统治中解放出来，它会创造出什么奇迹。然而他坚持“我们必须把大部分精力投入另一方向，即自然界的那一边”。在《科学的价值》中，他说：

如果不记住了解自然界的欲望在数学的发展过程中所起的最重要的和最令人愉悦的影响，就会完全忘记科学史。……忘记外部世界之存在的纯数学家将会像一个知道如何和谐地调配色彩和构图，但却没有模特的画家一样。他的创造力很快就会枯竭。

稍后，1908年，F·克莱因由于担心创造任意结构的自由会被滥用，他再次强调说：任意的结构是“所有科学的死亡”，几何的公理“不是任意的，而是切合实际的陈述。它们通常由对空间的知觉引出，其确切内容则依方便而定。”为了给非欧几何一个公正的评价，他指出视觉只在一定限度内验证欧几里得平行公理。另一方面，他指出“任何持有自由之特权的人必须承担责任”。这里的责任，克莱因指的是对自然界进行探索。

克莱因晚年曾是数学界的圣城——哥廷根大学数学系的泰斗。他感到必须做一次更有力的抗议。在他的《19世纪的数学发展》（1925年）中，他回忆了傅立叶用所能得到的最好的数学方法解决实际问题的兴趣，并把这与纯数学的精雕细刻和把具体概念抽象化相比。他写道：

我们这个时代的数学就像是和平时期的一个伟大的兵工厂，橱窗里满是为了吸引行家的巧妙、精致和好看的各种玩艺儿，它们的真正动机和目标——战斗和征服敌人——已经几乎完全被遗忘了。

库朗，继克莱因之后的哥廷根的数学领袖，后来又成了纽约大学库朗数学研究所的头，也为过分强调纯数学而悲哀。在1924年库朗和希尔伯特的《数学物理方法》第一版的序言中，库朗以这样的评论为开篇：

过去，数学从分析的问题和方法与物理学直观思想的紧密联系获取有力的刺激，然而近年来这种联系呈现松散的趋势。数学研究离开了数学的直观出发点，特别是在分析中集中于其方法的精致及概念的准确。许多分析的领袖人物丧失了他们的学科与物理学及其他领域联系的知识。另一方面，物理学家也不再体会数学家的问题和方法，甚至包括他们的语言和兴趣。科学发展的洪流，可能逐渐分流为越来越细小的溪渠，以至干涸。为了摆脱这种厄运，我们必须将数学研究与自然科学联系起来，只有这样，学者们才能为研究工作更进一步的发展打下基础。

1939年库朗再一次写到：

数学不过是一个从定义和假设中抽取的结论体系，它必须保证一致性，除此以外数学家可以随心所欲地加以创造，这样一种断言蕴含着对科学的生命力的一个严重的威胁。假如这一描述准确，则数学不能吸引任何有知识的人。它将是一个没有动机、没有目标的定义规则和推理的游戏。智力能够任意地推出有意义的假设体系不过是伪真理，自由的思维只有在有机整体的约束之下，受固有必然性的指引，才能获得具有科学价值的结果。

伯克霍夫(George David Birkhoff)，美国数学界的泰斗，在1943年的《科学美国人》上提出了同样的观点：

我们寄希望于未来，越来越多的理论物理学家们能够更深刻地认识数学的原理；而数学家们也不再把自己局限于数学抽象的美学发展中。

辛格（JohnL.Synge），一位数学物理学家，在一篇颇具萧伯纳风格的技术长文的前言中描述了1944年的情形：

大多数数学家从事于一致认为是绝对数学的思想的研究，他们形成了一个封闭的行会，初入会时必须发誓不逾越行规。他们通常遵守自己的誓言，只有少数几个数学家四处遛达，直接从其他科学领域中产生的问题中寻找动力。在1744年或1844年第二类人差不多包含了所有的数学家。在1944年这只是如此小的一部分，以致于有必要提醒大多数人，还存在着这样的少数人，并且解释一下这种观点。

这少数人并不希望被称为“物理学家”或“工程师”。因为他们遵循着一种包括欧几里得、阿基米得、牛顿、拉格朗日、哈密尔顿、高斯、彭加勒等人延续了20多个世纪的数学传统，这少数人并不希望贬损大多数人的工作，但确实担心，完全依赖于自己的数学会失去其意义。

与世隔绝的数学家们不仅把精力都用于整个数学的未来，而且剥夺了其他科学一直以来所依赖的一项支持……。正是在对自然界的研究中，才产生了（而且完全可能继续产生）比数学家们闭门造车创造出来的结构复杂得多的问题。科学家们一直依赖数学家来解决这些问题。他们知道数学家不只是一个已经造好的工具的熟练使用者 ——他们自己也可以相当熟练地使用这些工具；他们依赖的是数学家所特有的品质——他的逻辑上的洞察力和从一般中看出特殊及从特殊中找出一般的能力……。

在所有这些中，数学家是指向者，也是约束者。他给出了科学计算的方法——对数、微积分、微分方程等等——但他给的还远不止这些，他给出了一张蓝图，他坚持思维的逻辑性。每一门新的学科出现他都给它——或试图给它——坚实的逻辑结构，就像欧几里得对埃及人的土地丈量所做的。一门学科初到他手时像一块粗糙的石头，丑陋不堪，而离开他手时已是一块闪闪发光的宝石了。

现在，科学比以往任何时候都要活跃，并没明显的衰败迹象，只有最细心的观察者注意到看门人已擅离职守，他并没有去睡大觉，他像以往一样地努力工作，只是他在为自己干活……

简而言之，联盟已被打破——当它存在时曾是多么振奋人心……。自然界将会提出有力的问题，但它们永远到不了数学家那里。数学家可能正坐在象牙塔中等待着敌人的枪林弹雨，但敌人永远不会来到他面前。自然界不会为他提供现成的只等着公式化的问题。他们必须用锹和镐来挖，不愿让自己的双手沾上泥土的人永远也找不到它们。

思维中的变化和衰亡就像人类的变化和衰亡一样，不可避免，一个真正热爱真理的数学家是不会掩饰这一点的，人为的力量不可能激发出如此丰富的智力上的动机。有些东西富有想象力，有些没有；而如果没有，它们就没有激情。如果数学家们真的失去了他们曾经有过的普遍的联系，如果他们在精确逻辑的修正上比在星体的运动中更真实地看到上帝之手——那么任何试图诱使他们回到原来的地方的努力不仅仅是徒劳无功，而且是对个人智力自由的权力的否认。但每一个年轻的数学家，如果他有自己的哲学——每个人都有——应该充分地占有事实后再做决定。他应该意识到如果他遵循现代数学的模式，那么他将是一个伟大传统的继承人——但只是部分继承人。其他的遗产将落入他人之手，而他将再也不能得到它了……

我们的科学始于数学，而且必然在数学从中撤出不久之后（如果要撤出的话）结束。一个世纪之后将有更大更好的大规模的实验室。这些实验结果是单纯的事实还是成为科学要看它们与数学的实质之间的关系的紧密程度了。

冯·诺依曼非常紧张地提出了警告，在时常被引用的论文《数学家》（1947年）中，他说：

当一门数学学科远离它的经验本源继续发展的时候，或者更进一步，如果它是第二代和第三代，仅仅间接地受到来自“现实”的思想所启发，那么，它就会面临严重困境。它会变得越来越纯粹

Answer 2

+ 0 e f g
0 0 e f g
e e 0 g f
f f g 0 e
g g f e 0

这运算是对合的：∀ x ∈ V , x + x = 0。

克莱因四元群可扩展为有限域，称为克莱因域，加入乘法为第二个运算，以0为零元，e为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为：

x 0 e f g
0 0 0 0 0
e 0 e f g
f 0 f g e
g 0 g e f

克莱因四元群是下图的图自同构群。

克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性，可以从它在4点上的置换表示看出：

V = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
在这表示中，V是交错群A4的正规子群，也是4个字母上的对称群S4的正规子群。根据伽罗瓦理论，克莱因四元群的存在，而且还具有这特别的表示，解释了二次方程可以用根式求解的原因。

数学上，克莱因(Klein)四元群，得名自菲利克斯·克莱因，是最小的非循环群。它有4个元素，除单位元外其阶均为2。

克莱因四元群通常以V表示（来自德文的四元群Vierergruppe）。它是阿贝尔群，同构于<math>\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z</math>，就是2阶的循环群与自身的直积。它也同构于4阶的二面体群。

若把克莱因四元群记作V = { 0, e, f, g }，其运算为加法"+"，那么以下为其运算表：

+ 0 e f g
0 0 e f g
e e 0 g f
f f g 0 e
g g f e 0

这运算是对合的：∀ x ∈ V , x + x = 0。

克莱因四元群可扩展为有限域，称为克莱因域，加入乘法为第二个运算，以0为零元，e为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为：

x 0 e f g
0 0 0 0 0
e 0 e f g
f 0 f g e
g 0 g e f

克莱因四元群是下图的图自同构群。

<math>\begin{matrix}
\circ \!\! - \!\! \circ \\ \circ \;\; \circ \\ \end{matrix}</math>

克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性，可以从它在4点上的置换表示看出：

V = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
在这表示中，V是交错群A4的正规子群，也是4个字母上的对称群S4的正规子群。根据伽罗瓦理论，克莱因四元群的存在，而且还具有这特别的表示，解释了二次方程可以用根式求解的原因。de:Kleinsche Vierergruppe en:Klein four-group fr:Groupe de Klein本回答被提问者和网友采纳

Answer 3

+ 0 e f g
0 0 e f g
e e 0 g f
f f g 0 e
g g f e 0

这运算是对合的：∀ x ∈ V , x + x = 0。

克莱因四元群可扩展为有限域，称为克莱因域，加入乘法为第二个运算，以0为零元，e为单位元。乘法与加法符合分配律。乘法表为：

x 0 e f g
0 0 0 0 0
e 0 e f g
f 0 f g e
g 0 g e f

克莱因四元群是下图的图自同构群。

克莱因四元群3个阶2的元之间的对称性，可以从它在4点上的置换表示看出：

V = < (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
在这表示中，V是交错群A4的正规子群，也是4个字母上的对称群S4的正规子群。根据伽罗瓦理论，克莱因四元群的存在，而且还具有这特别的表示，解释了二次方程可以用根式求解的原因。