(1)∵抛物线y=ax
2+bx+3(a≠0)经过A(-1,0)、B(3,0)两点
∴把(-1,0)B(3,0)代入抛物线得:a=-1,b=2,
∴抛物线解析式为:y=-x
2+2x+3.
∴顶点D的坐标为(1,4);
(2)设直线BD解析式为:y=kx+b(k≠0),把B、D两点坐标代入,
得
,
解得k=-2,b=6,
直线BD解析式为y=-2x+6,
S=
PE?OE,
S=
PE?OE=
xy=
x(-2x+6)=-x
2+3x,
∵顶点D的坐标为(1,4),B(3,0)
∴1<x<3,
∴S=-x
2+3x(1<x<3),
S=-(x
2-3x+
)+
,
=-(x-
)
2+
,
∴当x=
时,S取得最大值,最大值为
;
(3)当S取得最大值,x=
,y=3,
![](https://video.ask-data.xyz/img.php?b=https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/838ba61ea8d3fd1fd09988b8334e251f94ca5f9b?x-bce-process=image%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_auto)
∴P(
,3),
∴四边形PEOF是矩形.
作点P关于直线EF的对称点P′,连接P′E,P′F.
过P′作P′H⊥y轴于H,P′F交y轴于点M,
设MC=m,则MF=m,P′M=3-m,P′E=
,
在Rt△P′MC中,由勾股定理,
(
)
2+(3-m)
2=m
2,
解得m=
,
∵CM?P′H=P′M?P′E,
∴P′H=
,
由△EHP′∽△EP′M,
可得
=,
∴
=
解得:EH=
.
∴OH=3-
=.
∴P′坐标(-
,
).
不在抛物线上.