高二空间向量的问题 求解急

Question

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CB=AA1=2,∠ACB=90°,E为BB1的中点,D∈AB,∠A1DE=90°，E为BB1的中点，D∈AB，∠A1DE=90°
（1）求证：CD⊥A1DE=90°
（2）求二面角D-A1C-A的余弦值

Answer 1

解：建立直角坐标系：以C点为原点，CA所在直线为横坐标(X), CB所在直线为纵坐标(Y), 以CC1所在直线为竖坐标(Z).,有关点的坐标为：
C(0,0), A(2,00), B(0,2,0), A1(2,0,2), B1(0,2,2), D(1,1,0), E(0,2,1)
(1) 求证：CD ⊥平面A1DE.
证：.向量CD=(1,1,0)， 向量A1D=(1,1,0)-(2,0,2)=(-1,1,-2), 向量DE=(0,2,1)-(1,1,0)=(-1,1,1).
向量CD.向量A1D=(1,1,0).(-1,1,-2)=1*(-1)+1*1+0*(-2)=-1+1=0.
∴向量CD⊥向量A1D, 即线段CD⊥线段A1D.
向量CD.向量DE=(1,1,0).(-1,1,1)=1*(-1)+1*1+0*1=0.
∴向量CD⊥ 向量DE, 即线段CD⊥线段DE.∵A1D∈平面AB1,DE∈平面A1B,且A1D∩DE=D.
∴CD ⊥平面A1DE.

(2)已知：向量CA1=(2,02), 向量CD=(1,1,0).
在平面A1DC(O)上，任作一法线向量n=(x,y,z).
∵CD∈平面A1DC,CA1∈平面A1DC. ∴向量n⊥向量CD,向量n⊥向量CA1.
即（x,y,z).(1,1,0)=0, x+y=0 (1).
(x,y,z).(2,0,2)=0, 2x+2z=0 (2).\
由（2）得：x=-z, 取z=1,则x=-1, y=1.
∴向量n=(-1,1,1).
又∵CB⊥平面AC1,向量CB=(0,2,0)就是平面AC1的一个法向向量。
向量n与向量CB的夹角即为所求的二面角D-A1CA的平面角。
|向量n|=√[(-1)^2+1^2+1^2)]=√3.
|向量CB|＝√(0+2^2+0)=2. n.CB=(-1,1,1).(0,2,0)=2.
cos<n,CB>=n.CB/|n|*|CB|=2/(2*√3)=√3/3. ---即为所求的二面角的平面角的余弦值。

Answer 2

1.由,∠A1DE=90°勾股定理可以得出D为AB中点，具体证明如下：
设AD为x，在等腰直角三角形中ABC中可知AB为2倍根号2，则BD为AB-X，
A1D的平方为AA1的平方加上AD的平方
DE的平方为BD的平方加上BE的平方
A1E的平方为A1B1的平方加上B1E的平方
三角形A1DE中勾股定理将各数值带入即可得X为根号2,
所以CD⊥AB,
所以CD⊥ABA1B1
所以CD⊥A1D,CD⊥DE
所以CD⊥A1DE＝90度
2.做辅助线AF⊥A1C,DG⊥A1C, 过G做AF 的平行线GH交AC于点H，连接DH
∠HGD即为二面角D-A1C-A（因为DG⊥A1C，GH⊥A1C）
计算DG:由1得CD⊥A1D，△A1DC中根据面积计算得A1D×CD=A1C×DG，所以DG为2分之根号6
计算GH：直角△DCG中，勾股定理得CG为2分之根号2，所以G为A1C的四等分点，
所以GH为AF的一半，为2分之根号2
计算DH:AF 的平行线GH，所以H为AC的中点，DH为根号3
余弦定理即可得出二面角D-A1C-A的余弦值