任何一个集合A,有n个元素,那么它的子集有2的n次方个,怎么证明

Question

如题所述

Answer 1

对每一个子集来说，原集合的每一个元素都有两种情况：在这个子集中，或不在这个子集中。也就是说，每个元素有2种情况，那么对n个互不相同的元素（集合的元素当然互不相同），就是2的n次方种情况，每种情况都是且只是一个子集。所以说是2的n次方个子集。

Answer 2

对于A中任一个元素, 它都有"在"和"不在" 这个子集中2个选择
或者反过来说, 一个子集对A中的任一元素都有"选"与"不选" 2个选择
故所有情况就是 2*2*2*...*2 = 2^n.

也可以这样考虑:
设A={a1,a2,...,an}
那么A的任一子集B的构成应该是这样子: a1^1a2^1a3^0...an^1
1次方表示这个元素在B中, 0次幂表示这个元素不在B中
每个元素都有2种选择
故共有 2^n 个子集

Answer 3

用组合数来证明。
有n个元素的话，子集的个数按照元素个数分类如下：
0个元素的子集，1个元素的子集，2个元素的子集，3个元素的子集，4个元素的子集，......，n个元素的子集。
其个数分别为 C(0,n)，C(1,n)，C(2,n)，C(3,n)，C(4,n)，......, C(n,n).
相加后，根据组合数的性质，其和为 2的n次方 。

Answer 4

子集便是从这个集合中任取一些元素组成的集合
个数即为C（n，0）+C(n,1)+C(n,2)+........+C(n,n)=2的N次方