怎样求矩阵的特征值和特征向量？

Question

如题所述

Answer 1

1. 计算行列式 |A-λE| =
1-λ 2 3
3 1-λ 2
2 3 1-λ

c1+c2+c3
6-λ 2 3
6-λ 1-λ 2
6-λ 3 1-λ

r2-r1,r3-r1
6-λ 2 3
0 -1-λ -1
0 1 -2-λ

= (6-λ)[(1+λ)(2+λ)+1]
= (6-λ)(λ^2+3λ+3)

所以A的特征值为6.
注: λ^2+3λ+3 在实数域无法分解, A的实特征值只有6.

2. 求特征向量
对特征值6, 求出齐次线性方程组 (A-6E)X=0 的基础解系.
A-6E =
-5 2 3
3 -5 2
2 3 -5

r1+r2+r3,r2-r3
0 0 0
1 -8 7
2 3 -5

r3-2r2
0 0 0
1 -8 7
0 19 -19

r3*(1/19),r2+8r3
0 0 0
1 0 -1
0 1 -1

(A-6E)X=0 的基础解系为 (1,1,1)^T.
所以, A的属于特征值6的所有特征向量为 k(1,1,1)^T, k为非零常数.