关于数列的定义

Question

按一定次序排列的一列数称为数列 那么“一定次序排列”的具体含意是什么？ 为什么无理数就不能构成数列呢？

Answer 1

　数列(sequence of number) 概念　　按一定次序排列的一列数称为数列(sequence of number)。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数列称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。所以,数列的一般形式可以写成 　　a1,a2,a3,…,an,… 　　简记为{an},项数有限的数列为“有穷数列”(finite sequence),项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)。 　　从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列; 　　从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列; 　　从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列; 　　各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数); 　　各项相等的数列叫做常数列。 　　通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。 　　数列中数的总数为数列的项数。特别地,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n)。 　　如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n). 表示方法　　如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n 1) 1 　　如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1) 1 (n>1)
　极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下。
　　首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积。为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=6*2的9次方边形,利用不等式An 1<A<An 2[(An 1)-An](n=1,2,3....)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416
　　数列极限:
　　定义:设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N时,不等式
　　|Xn - a|<ε
　　都成立,那么就成常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a(n→∞)
　　数列极限的性质:
　　1.唯一性:若数列的极限存在,则极限值是唯一的;
　　2.改变数列的有限项,不改变数列的极限。
　　几个常用数列的极限:
　　an=c 常数列 极限为c
　　an=1/n 极限为0
　　an=x^n 绝对值x小于1 极限为0
　　函数极限的专业定义:
　　设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时,对应的函数值f(x)都满足不等式:
　　|f(x)-A|<ε
　　那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
　　函数极限的通俗定义:
　　1、设函数y=f(x)在(a, ∞)内有定义,如果当x→ ∽时,函数f(x)无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于 ∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ,x→ ∞。
　　2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时(记作x→a),函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ,x→a。
　　函数的左右极限:
　　1:如果当x从点x=x0的左侧(即x〈x0)无限趋近于x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限,记作x→x0-limf(x)=a.
　　2:如果当x从点x=x0右侧(即x>x0)无限趋近于点x0时,函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限,记作x→x0 limf(x)=a.
　　注:若一个函数在x(0)上的左右极限不同则此函数在x(0)上不存在极限
　　函数极限的性质:
　　极限的运算法则(或称有关公式):
　　lim(f(x) g(x))=limf(x) limg(x)
　　lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
　　lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
　　lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )
　　lim(f(x))^n=(limf(x))^n
　　以上limf(x) limg(x)都存在时才成立
　　lim(1 1/x)^x =e
　　x→∞
　　无穷大与无穷小:
　　一个数列(极限)无限趋近于0,它就是一个无穷小数列(极限)。
　　无穷大数列和无穷小数列成倒数。
　　两个重要极限:
　　1、lim sin(x)/x =1 ,x→0
　　2、lim (1 1/x)^x =e ,x→∞ (e≈2.7182818...,无理数)

Answer 2

一定次序你可以理解为映射中的法则f，它表示这个数列各项的关系，并以此关系构成这个数列。你问为什么无理数不能构成数列，那我给你个例子你解释得到我就给你答案：以1为首项，根号2为公比构成了等比数列

Answer 3

一定次序就是他们之间有一定关系，但不一定有通项公式。至于无理数前面已经给解释了。

Answer 4

定义：
数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
表示方法：
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如 。
数列通项公式的特点：
（1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。
（2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。
递推公式。
数列递推公式特点：
（1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。
（2）有些数列没有递推公式。
有递推公式不一定有通项公式。