先说第一道题，看到这种题第一个就想能被能等价无穷小代换。或者能不能用洛必达法则。这道题明显能不能用等价无穷小。
首先，lim趋于0时，上下都是0，是洛必达法则的0/0型。故上下同时求导；变为e^x-1 /sinx+xcosx.到这步x趋于零上下还是0.故再次进行洛必达法则。再次求导。变为e^x/cosx+cosx-xsinx.到这步。x趋于0时，这个式子等于1/2.答案等于1/2.
第二题
这一题的方法与第一题相同，都是0/0型，都是多次运用洛必达法则。将分号上下多次求导。
第一次求导等于 sec^2(x)-1/1-cosx。求导后，分号上下还是都是0
再次求导等于2sec^2(x)*tanx/sinx.。这次求导后，分号上下还是0
再次求导等于2/cos^2(x)=2
这道题的答案等于2
等价无穷小的替换公式：
当x趋近于0时:
e^x-1 ~ x
ln(x+1) ~ x
sinx ~ x
arcsinx ~ x
tanx ~ x
arctanx ~ x
1-cosx ~ (x^2)/2
tanx-sinx ~ (x^3)/2
(1+bx)^a-1 ~ abx
洛必达法则：
洛必达法则是一种通过分别推导分子和分母，然后在一定条件下求极限来确定不定公式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
一、分子和分母趋向于0或无穷大。二、分子和分母在定义的区域内是否分别可导
当两个条件都满足时，再求导并判断求导之后的极限是否存在：若存在，直接得到答案；若不存在，则说明此种未定式无法用洛必达法则解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
先说答案，第一问1/2,第二问答案是2。下面是过程
第一个先利用洛必达法则对分子分母分别求导,分子上变为e的x次方－1，分母上变为sinx＋xcosx。当x趋近于0时，e的x次方－1等价于x，sinx也等价于x，cosx趋近于1。所以替换一下等价无穷小，分子上变为x分母上变为x＋x，所以第一题极限是1/2。
第一问过程
第二问还是先洛必达法则求导，分子变为tan²x＋1－1,分母变为1－cosx。已知cos2x＝1－2sin²x，所以cosx＝1－2sin²(x/2)分母再次化为2sin²(x/2)x趋近于0，tanx等价于x，sinx也等价于x。故分子变为x²，分母变为x²/2，极限为2。
第二问过程
运用洛必达法则，过程中用等价无穷小简化计算
（e^x－1－x）/xsinx，当x——＞0时，这是一个0/0型极限，对它运用一次洛必达法则，得
（e^x－1）/（sinx＋xcosx），x——＞0时，仍然是一个0/0型极限，再对它运用一次洛必达法则，得
e^x/（2cosx－xsinx），
x——＞0时，
e^x——＞1，2cosx－xsinx——＞2×1－0×0＝2，
所以，e^x/（2cosx－xsinx）——＞1/2，这就是所要求的结果。
后一个问题：
（tanx－x）/（x－sinx），当x——＞0时，这是一个0/0型极限，对它运用一次洛必达法则，得
（sec²x－1）/（1－cosx）＝tan²x/（1－cosx），
x——＞0时，这又是一个0/0型极限，继续对它运用洛必达法则，得
2tanxsec²x/sinx＝2/cos³x——＞2/1³＝2，
亦即，当x——＞0时，
（tanx－x）/（x－sinx）——＞2。本回答被网友采纳