特征方程3种通解

Question

如题所述

Answer 1

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：\( y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \)，其中 \( p(x) \) 和 \( q(x) \) 是关于 \( x \) 的函数，它们是常数时，方程成为常系数齐次线性微分方程。其特征方程为 \( r^2 + p(x)r + q(x) = 0 \)。
根据判别式 \( \Delta = p(x)^2 - 4q(x) \) 的符号，方程的通解有以下三种情况：
1. 当 \( \Delta = p(x)^2 - 4q(x) > 0 \) 时，特征方程有两个不相等的实数根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，通解的形式为：
\[ y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} \]
2. 当 \( \Delta = p(x)^2 - 4q(x) = 0 \) 时，特征方程有一个重根 \( r_1 = r_2 \)，通解为：
\[ y(x) = (C_1 + C_2x)e^{r_1x} \]
3. 当 \( \Delta = p(x)^2 - 4q(x) < 0 \) 时，特征方程具有共轭复数根 \( r_1 = a + bi \) 和 \( r_2 = a - bi \)，其中 \( i \) 是虚数单位，通解为：
\[ y(x) = e^{ax} \left( C_1\cos(bx) + C_2\sin(bx) \right) \]
最简单的常微分方程是只含有一个未知数，且未知数是一个实数函数的方程。但未知数也可能是一个向量函数或矩阵函数，这样的方程可以对应一个由多个常微分方程构成的系统。