第2个回答 2018-04-19
几何造型中的集合运算实质上是对集合中的成员进行分类的问题，Tilove给出了集合成员分类问题的定义及判定方法。Tilove对分类问题的定义为：设S为待分类元素组成的集合，G为一正则集合，则S相对于G的成员分类函数为：C(S,G)={SinG，SoutG，SonG}，（3-2-1）其中，SinG=S∩iG，SoutG=S∩cG，SonG=S∩bG，如果S是形体的表面，G是一正则形体，则定义S相对于G的分类函数时，需考虑S的法向量。记-S为S的反向面。形体表面S上一点P相对于外侧的法向量为NP(S)，相反方向的法向量为-NP(S)，则（3-2-1）式中SonG可分为两种情况：SonG={Sshared(bG)，Sshared(-bG)}，其中，Sshared(bG)={P|P∈S，P∈bG，NP(S)=NP(bG)},Sshared(-bG)={P|P∈S，P∈bG，NP(S)=-NP(bG)}。于是，S相对于G的分类函数C(S,G)可写为：C(S,G)={SinG，SoutG，Sshared(bG)，Sshared(-bG)}。由此，正则集合运算定义的形体边界可表达为：b(A∪B)={bAoutB，bBoutA，bAshared(bB)}，b(A∩B)={bAinB，bBinA，bAshared(bB)}，b(A-B)={bAoutB，-(bBinA)，bAshared(-bB)}。3．集合运算算法正则集合运算与非正则形体运算的区别在于增加了正则化处理步骤。下面，我们给出一个非正则形体的集合运算算法。假定参与集合运算的形体为A和B，运算的结果形体C=AB，其中集合运算符为通常的集合运算并、交、差（È、Ç、-）。对于一个非正则形体L，可以将其分解为L=L3ÈL2ÈL1ÈL0，其中L3为R3中的正则闭集之并，存在面表、边表、点表等拓扑元素。L2是悬面集，存在边表和点表。L1是悬边集，只有端点。L0是孤立点集。集合运算整个算法包括了以下几部分：(1)求交：参与运算的一个形体的各拓扑元素求交，求交的顺序采用低维元素向高维元素进行。用求交结果产生的新元素（维数低于参与求交的元素）对求交元素进行划分，形成一些子元素。这种经过求交步骤之后，每一形体产生的子拓扑元素的整体相对于另一形体有外部、内部、边界上的分类关系。2)成环：由求交得到的交线将原形体的面进行分割，形成一些新的面环。再加上原形体的悬边、悬点经求交后得到的各子拓扑元素，形成一拓扑元素生成集。(3)分类：对形成的拓扑元素生成集中的每一拓扑元素，取其上的一个代表点，根据点/体分类的原则，决定该点相对于另一形体的位置关系，同时考虑该点代表的拓扑元素的类型（即其维数），来决定该拓扑元素相对于另一形体的分类关系。(4)取舍：根据拓扑元素的类型及其相对另一形体的分类关系，按照集合运算的运算符要求，要决定拓扑元素是保留还是舍去；保留的拓扑元素形成一个保留集。(5)合并：对保留集中同类型可合并的拓扑元素进行合并，包括面环的合并和边的合并。(6)拼接：以拓扑元素的共享边界作为其连接标志，按照从高维到低维的顺序，收集分类后保留的拓扑元素，形成结果形体的边界表示数据结构。