中考模拟试题四 2009.5
一、选择题
1. 下列实数中,无理数是 （ ）
A. B. C. D.
2、 如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ）
3、若 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D． 或
4、 在下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
5、小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是 ( )
6、如图AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则sinB=（ ）
A、 B、 C、 D、
7、图2中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
8、正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则 =（ ）
A． B． C． D．
9、如图，一个等边三角形的边长和与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了
A．4圈 B．3圈 C．5圈 D．3.5圈
10、为悼念四川汶川地震中遇难同胞，在全国哀悼日第一天，某校升旗仪式中，先把国旗匀速升至旗杆顶部，停顿3秒钟后再把国旗匀速下落至旗杆中部．能正确反映这一过程中，国旗高度h（米）与升旗时间t(秒）的函数关系的大致图象是
11、 二次函数 的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）
A、 ＜0 B、 ＞0 C、 ＞0 D、 ＞0
12、如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF‖AB，则EF的长度为 （ ）
A．2 B． C． D．
二、填空
13、计算： =
14、分解因式： ．
15、如图5，D是AB边上的中点，将 沿过D的直线折叠，
使点A落在BC上F处，若 ，则 __________度．
16、已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为线段AB 、BC的中点，且 AB = 60，BC = 40，则MN 的长为 .
17、已知关于 的一元二次方程 ．如果此方程的两个实数根为 ，且满足 ，则 的值为 ．
三、解答题
18、端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．五月初五早晨，妈妈为洋洋准备了四只粽子：一只香肠馅，一只红枣馅，两只什锦馅，四只粽子除内部馅料不同外，其他均一切相同．洋洋喜欢吃什锦馅的粽子．
（1）请你用树状图或列表法为洋洋预测一下吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率；
（2）在吃粽子之前，洋洋准备用如图所示的转盘进行吃粽子的模拟试验（此转盘被等分成四个扇形区域，指针的位置是固定的，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置．若指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），规定：连续转动两次转盘表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是什锦馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由．
19、如图，△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE．
（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明．
（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由．
（3）求△BEC与△BEA的面积比．
20、某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配 个乒乓球，已知 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销， 超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去 超市还是 超市买更合算？
（2）当 时，请设计最省钱的购买方案．
21、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间 （单位：分钟）与学习收益量 的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间 （单位：分钟）与学习收益量 的关系如图乙所示（其中 是抛物线的一部分， 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）求王亮解题的学习收益量 与用于解题的时间 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）求王亮回顾反思的学习收益量 与用于回顾反思的时间 之间的函数关系式；
（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？
（学习收益总量 解题的学习收益量 回顾反思的学习收益量）
22、如图，⊙ 的直径 是 ，过 点的直线 是⊙ 的切线， 、 是⊙ 上的两点，连接 、 、 和 ．
(1)求证： ；
(2)若 是 的平分线，且 ，求 的长．
23、如图，在边长为4的正方形 中，点 在 上从 向 运动，连接 交 于点 ．
（1）试证明：无论点 运动到 上何处时，都有△ ≌△ ；
（2）当点 在 上运动到什么位置时，△ 的面积是正方形 面积的 ；
（3）若点 从点 运动到点 ，再继续在 上运动到点 ，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△ 恰为等腰三角形．
24、如图①，②，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为(4，0)，以点 为圆心，4为半径的圆与 轴交于 ， 两点， 为弦， ， 是 轴上的一动点，连结 ．
（1）求 的度数；
（2）如图①，当 与 相切时，求 的长；
（3）如图②，当点 在直径 上时， 的延长线与 相交于点 ，问 为何值时， 是等腰三角形？
21．解：（1）设 ，把 代入，得 ． ．
自变量 的取值范围是： ．
（2）当 时，设 ，
把 代入，得 ， ． ．
当 时， 即 ．
（3）设王亮用于回顾反思的时间为 分钟，学习效益总量为 ，
则他用于解题的时间为 分钟．当 时，
．
当 时， ．
当 时， ．
随 的增大而减小， 当 时， ．
综合所述，当 时， ，此时 ．
即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．
23．（1）证明：在正方形 中，无论点 运动到 上何处时，都有 = ∠ =∠ = ∴△ ≌△
(2)解法一：△ 的面积恰好是正方形ABCD面积的 时，
过点Q作 ⊥ 于 , ⊥ 于 ，则 =
= = ∴ =
由△ ∽△ 得 解得
∴ 时，△ 的面积是正方形 面积的
解法二：以 为原点建立如图所示的直角坐标系，过点 作 ⊥ 轴 于点 ， ⊥ 轴于点 ．
= = ∴ =
∵点 在正方形对角线 上 ∴ 点的坐标为
∴ 过点 （0，4）， ( 两点的函数关系式为：
当 时， ∴ 点的坐标为（2，0）
∴ 时，△ 的面积是正方形 面积的 ．
（3）若△ 是等腰三角形，则有 = 或 = 或 =
①当点 运动到与点 重合时，由四边形 是正方形知 =
此时△ 是等腰三角形
②当点 与点 重合时，点 与点 也重合，此时 = , △ 是等腰三角形
③解法一：如图，设点 在 边上运动到 时，有 =
∵ ‖ ∴∠ =∠
又∵∠ =∠ ∠ =∠
∴∠ =∠ ∴ = =
∵ = = =4
∴
即当 时，△ 是等腰三角形
解法二：以 为原点建立如图所示的直角坐标系，设点 在 上运动到 时，有 = 过点 作 ⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 ,则 在 △ 中， ，∠ =45°
∴ = °= ∴ 点的坐标为（ ， ）
∴过 、 两点的函数关系式： +4
当 =4时， ∴ 点的坐标为（4，8-4 ）．
∴当点 在 上运动到 时，△ 是等腰三角形．
24．解：（1）∵ ， ，
∴ 是等边三角形． ∴ ．………………………(2分)
（2）∵CP与 相切， ∴ ．∴ ．
又∵ （4，0），∴ ．∴ ．
∴ ．．………………………(5分)
（3）①过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于 ，
∵ 是半径， ∴ ，∴ ，
∴ 是等腰三角形．
又∵ 是等边三角形，∴ ＝2 ．………………………(7分)
②解法一：过 作 ，垂足为 ，延长 交 于 ， 与 轴交于 ，
∵ 是圆心， ∴ 是 的垂直平分线． ∴ ．∴ 是等腰三角形，
过点 作 轴于 ，
在 中，∵ ，
∴ ．∴点 的坐标（4＋ ， ）．
在 中，∵ ，
∴ ．∴ 点坐标（2， ）．
设直线 的关系式为： ，则有
解得：
∴ ．
当 时， ． ∴ ． ………………………………………………(12分)
解法二： 过A作 ，垂足为 ，延长 交 于 ， 与 轴交于 ，
∵ 是圆心， ∴ 是 的垂直平分线． ∴ ．
∴ 是等腰三角形．
∵ ，∴ ．
∵ 平分 ，∴ ．
∵ 是等边三角形， ， ∴ ．
∴ ．
∴ 是等腰直角三角形．
∴ ．
∴ ．………………………………………………(12分)
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