泰勒展开式是如何计算的?

Question

如题所述

Answer 1

一、分析与解答

1.1）分析：函数的泰勒展开式要以某点为中心展开，若以原点(x=0)为中心展开，则为泰勒级数的特殊形式——麦克劳林公式，若没有考虑以x=x0，x0可以为任意值的情况，则不算完整解答了该函数的泰勒展开式。

1.2）答：函数(1+x)^(-1)以x=x0为中心的泰勒展开式如下图所示：

二、泰勒级数的展开方法

泰勒级数是用一类无限项连加式来表达函数的级数。若表达式为x的幂级数，则称为麦克劳林级数，为泰勒级数的特殊形式。泰勒展开式公式如图所示：

三、推导过程

3.1）求(1+x)^(-1)的高阶导数表达式，用于求其泰勒展开式，如下图：

3.2）代入泰勒展开式公式①和该函数的高阶导数公式②，得：(如图)

四、泰勒级数的用途

4.1）求函数的数值

对于1/(1+x)而言，此函数本身就较为简单，直接计算即可。但对于一些定义复杂的函数，如三角函数，则其一般函数值的精确计算要依赖于泰勒级数。举例如图所示：

需要注意的是：sin1为无理数，就如同π一样，只能精确到有限位。利用泰勒公式，可以将很多复杂的函数(有些特殊的函数例外)转化为只有加减乘除的式子进行计算，而且计算精度可以确定。著名的圆周率π现代的数值算法，也应用了泰勒级数的原理。

4.2）数学理论分析和计算

泰勒级数展开式将简单的函数式子化为无穷多项幂函数，看似化简为繁。但事实上泰勒级数可以解决很多数学问题。

如：①求极限时可以用函数的麦克劳林公式(泰勒展开式的特殊形式)；

②一些难以积分的函数，将函数泰勒展开变为幂级数，使其容易积分；

③复杂离散函数的多项式拟合，用于统计学和预测算法；

④一些数学证明，有时需要将复杂函数化为格式高度统一的幂级数来证明。

此类例子数不胜数，不可能一一列举。

（插图用绿色背景展示，以证明其为本人编辑。）