将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： 已知表中的第一列数a

Question

将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： 已知表中的第一列数a 1 ，a 2 ，a 5 …构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2 =4，b 5 =10。表中每一行正中间一个数a 1 ，a 3 ，a 7 …构成数列{c n }，其前n项和为S n ，(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13 =1，①求S n ；②记M={n|(n+1)c n ≥λ，n∈N*}，若集合M的元素个数为3，求实数λ的取值范围。

Answer 1

解：(1)设数列{b n }的公差为d，则 ，解得 ， 所以b n =2n。 (2)①设每一行组成的等比数列的公比为q， 由于前n行共有1+3+5+…+(2n-1)=n 2 个数，且3 2 ＜13＜4 2 ， 所以a 10 =b 4 =8，所以a 13 =a 10 q 3 =8q 3 ， 又a 13 =1，解得 ， 因此 ， 所以， ， ， 因此 ， 解得 ； ②由①知， ， 不等式(n+1)c n ≥λ，可化为 ， 设 ， 计算得f(1)=4，f(2)=f(3)=6，f(4)=5， ， 因为 ， 所以当n≥3时，f(n+1)＜f(n)， 因为集合M元素的个数为3， 所以λ的取值范围是(4，5]。