高中数学解析几何题

Question

已知抛物线y^2=4ax(a>0,a为常数)，F为其焦点。过点F的直线与抛物线相交于P、Q两点，向量PF=2向量FQ，求直线PQ的斜率。

Answer 1

解：
抛物线的焦点为F(a,0)
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则：(y1)^2=4ax1,
(y2)^2=4ax2
相减，并分解因式：
（y1+y2)(y1-y2)=4a(x1-x2)
变形：(y1-y2)/(x1-x2)=4a/(y1+y2)
注意到PQ的斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)
由上式得: k=4a/(y1+y2) （1）
又向量PF=(a-x1,-y1)
FQ=(x2-a,y2)
由PF=2FQ,得a-x1=2(x2-a)
-y1=2y2
即得x1=3a-2x2 *
y1=-2y2 *
这样(1)变为k=4a/(-y2)=-4a/y2 （2）
又还应有k=FQ的斜率=(0-y2)/(a-x2)（3）
由（2），（3）得
-4a/y2=-y2/(a-x2)
即(y2)^2=4a(a-x2)
即4a*(x2)=4a(a-x2) (曲线方程(y2)^2=4ax2)
即有(x2)=a/2.
由此：(y2)^2=4a(a/2)=2a^2
y2=(根号2)*a, 或y2=-(根号2)a
PQ的斜率k=2*(根号2)
或k=-2*(根号2)