y=1/（2x＋1）的导数怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

∫ydx∫（1／y）dx＝－1

所以∫（1／y）dx＝－1／（∫ydx）

两边求导得到

所以1／y＾2＝（∫ydx）＾2

y＝1／（∫ydx）

所以∫ydx＝1／y

再一次求导得到y＝－y＇／y＾2

所以y＇＝－y＾3

所以dy／dx＝－y＾3

－2y＾（－3）dy＝2dx

所以y＾（－2）＝2x＋C

根据y（0）＝1，得到C＝1

所以y＾（－2）＝2x＋1

y＝1／√（2x＋1）。

扩展资料

两个函数定积分的积与两个函数积的定积分相同：

解：

不相同，因为定积分求解的是在区间上被积函数曲线下方的面积2个定积分的乘积是2个面积的乘积．而2个函数相乘后再求定积分相当于被积函数变化了，被积函数曲线下方的面积也要变化。

乘积可积性

若f（x）f（x）和g（x）g（x）都在［a，b］［a，b］上可积，则f（x）g（x）f（x）g（x）在［a，b］［a，b］上也可积。

证明：

f（x）f（x）和g（x）g（x）都在［a，b］［a，b］上可积，则f（x）f（x）和g（x）g（x）在［a，b］［a，b］上有界，

于是 ∃M>0,∃M>0, 使得 ∀x∈[a,b],|f(x)|<M,|g(x)|<M,∀x∈[a,b],|f(x)|<M,|g(x)|<M,

对于区间［a，b］［a，b］的任意一个划分PP，∀i∈N，1≤i≤n，∀i∈N，1≤i≤n，

令Mi＝sup｛f（x）g（x）：x∈［xi−1，xi］，｝，Mi＝sup｛f（x）g（x）：x∈［xi−1，xi］，｝，

mi＝inf｛f（x）g（x）：x∈［xi−1，xi］｝，mi＝inf｛f（x）g（x）：x∈［xi−1，xi］｝，

wi＝Mi−mi，wi＝Mi−mi，

令M′i＝sup｛f（x）：x∈［xi−1，xi］，｝，Mi′＝sup｛f（x）：x∈［xi−1，xi］，｝，

m′i＝inf｛f（x）：x∈［xi−1，xi］｝，mi′＝inf｛f（x）：x∈［xi−1，xi］｝，

w′i＝M′i−m′i，wi′＝Mi′−mi′，

令M′′i＝sup｛g（x）：x∈［xi−1，xi］，｝，Mi″＝sup｛g（x）：x∈［xi−1，xi］，｝，

m′′i＝inf｛g（x）：x∈［xi−1，xi］｝，mi″＝inf｛g（x）：x∈［xi−1，xi］｝，

w′′i＝M′′i−m′′i，wi″＝Mi″−mi″，

则：

∀ε>0,∃x^∈[xi−1,xi],∀ε>0,∃x^∈[xi−1,xi], 使得 f(x^)g(x^)>Mi−ε2,f(x^)g(x^)>Mi−ε2,

∃x~∈[xi−1,xi],∃x~∈[xi−1,xi], 使得 f(x~)g(x~)<mi+ε2,f(x~)g(x~)<mi+ε2,

因此 f(x^)g(x^)−f(x~)g(x~)>Mi−mi−2⋅ε2=wi−ε,f(x^)g(x^)−f(x~)g(x~)>Mi−mi−2⋅ε2=wi−ε,

易知m′i≤f（x＾），f（x～）≤M′i，mi′≤f（x＾），f（x～）≤Mi′，

⇒m′i−M′i≤f（x＾）−f（x～）≤M′i−m′i＝w′i，⇒mi′−Mi′≤f（x＾）−f（x～）≤Mi′−mi′＝wi′，

⇒｜f（x＾）−f（x～）｜≤w′i，⇒｜f（x＾）−f（x～）｜≤wi′，

同理，得m′′i≤g（x＾），g（x～）≤M′′i，mi″≤g（x＾），g（x～）≤Mi″，

⇒｜g（x＾）−g（x～）｜≤M′′i−m′′i＝w′′i，⇒｜g（x＾）−g（x～）｜≤Mi″−mi″＝wi″，

又｜f（x＾）g（x＾）−f（x～）g（x～）｜｜f（x＾）g（x＾）−f（x～）g（x～）｜

＝｜［f（x＾）−f（x～）］g（x＾）＋f（x～）［g（x＾）−g（x～）］｜＝｜［f（x＾）−f（x～）］g（x＾）＋f（x～）［g（x＾）−g（x～）］｜

≤｜［f（x＾）−f（x～）］g（x＾）｜＋｜f（x～）［g（x＾）−g（x～）］｜≤｜［f（x＾）−f（x～）］g（x＾）｜＋｜f（x～）［g（x＾）−g（x～）］｜

＝｜f（x＾）−f（x～）｜｜g（x＾）｜＋｜f（x～）｜｜g（x＾）−g（x～）｜＝｜f（x＾）−f（x～）｜｜g（x＾）｜＋｜f（x～）｜｜g（x＾）−g（x～）｜

≤M［｜f（x＾）−f（x～）｜＋｜g（x＾）−g（x～）｜］≤M［｜f（x＾）−f（x～）｜＋｜g（x＾）−g（x～）｜］

因此 wi−ε<f(x^)g(x^)−f(x~)g(x~)wi−ε<f(x^)g(x^)−f(x~)g(x~)

≤｜f（x＾）g（x＾）−f（x～）g（x～）｜≤｜f（x＾）g（x＾）−f（x～）g（x～）｜

≤M［｜f（x＾）−f（x～）｜＋｜g（x＾）−g（x～）｜］≤M［｜f（x＾）−f（x～）｜＋｜g（x＾）−g（x～）｜］

≤M（w′i＋w′′i），≤M（wi′＋wi″），

⇒wi≤M（w′i＋w′′i），⇒wi≤M（wi′＋wi″），

⇒∑ni＝1wiΔxi⇒∑i＝1nwiΔxi

≤∑ni＝1M（w′i＋w′′i）Δxi≤∑i＝1nM（wi′＋wi″）Δxi

＝M［∑ni＝1w′iΔxi＋∑ni＝1w′′iΔxi］，＝M［∑i＝1nwi′Δxi＋∑i＝1nwi″Δxi］，

f（x）f（x）和g（x）g（x）都在［a，b］［a，b］上可积，则

∀ε>0,∀ε>0, 存在区间 [a,b][a,b] 的划分 PP，使得

∑ni=1w′iΔxi<ε2M,∑i=1nwi′Δxi<ε2M,

∑ni=1w′′iΔxi<ε2M,∑i=1nwi″Δxi<ε2M,

⇒∑ni＝1wiΔxi⇒∑i＝1nwiΔxi

≤M［∑ni＝1w′iΔxi＋∑ni＝1w′′iΔxi］≤M［∑i＝1nwi′Δxi＋∑i＝1nwi″Δxi］

<M(ε2M+ε2M)=ε,<M(ε2M+ε2M)=ε,

因此f（x）g（x）f（x）g（x）在［a，b］［a，b］上也可积。