首先，让我们聚焦于常系数齐次线性递推数列（也称常差分方程）和常系数齐次线性常微分方程。这两者背后的共同核心，正是矩阵的特征方程。对于k阶的数列或微分方程，我们有：
对于常系数齐次线性递推数列：
当表达式形式为
其中常数矩阵，通过代数操作，我们得到的特征方程，即代数方程
这个方程的解，也就是k个可能相同的根，我们称之为线性递推数列的特征根。实际上，特征方程就是矩阵的特征多项式，它是矩阵变换的本质体现。
而微分方程的情况亦是如此，对于
我们定义的特征方程同样为
其特征根与特征值的含义相同，它们揭示了微分方程解的结构。特征方程与特征值的组合，就像数学中的“魔法公式”，揭示了线性问题的内在规律。
更进一步，特征方程的本质是矩阵的特征多项式，它与矩阵的线性变换紧密相连。想象一下，矩阵就像一个线性空间中的操作者，它可以对向量进行缩放、旋转等操作。如果存在某个向量，在矩阵作用下仅被放大或缩小（即特征值），那么这个向量就是该矩阵的特征向量，对应的特征值则是缩放的倍数。
总的来说，特征方程在数学应用中的出现，是线性代数理论的基石，它揭示了线性问题中的关键结构和性质，对于理解并解决复杂问题起到了至关重要的作用。深入研究特征方程，就像打开了一扇通向线性世界核心的大门，无论是递推数列还是微分方程，都能从中找到答案和解题策略。