高中解析几何的对称问题有几种

Question

最好有例题讲解

Answer 1

一．关于点的对称
1． 理论分析
如果一个图形 ：绕着点 逆时针方向旋转 与图形 重合，那么我们就称图形 和 是关于定点 ， 为平面上任一点，由中坐标点公式可得， 关于定点 对称的点为 。
曲线 关于点 的对称曲线为 ： 。
2.典型例题分析
例1．已知曲线 ： 关于点 对称的曲线为 ,若 与 有两个不同的公共点，求 的取值范围。
分析：本题是关于两条二次曲线的关系问题，而其中的一条是另一条关于一点的对称曲线。因此，首先确定对称曲线的方程，是解题的第一步。
解：点 关于点 的对称点为 因此对称曲线C'的方程为 ，即 。由
得 由题设
得 ， 。
说明：求一已知曲线关于某点的对称曲线，只需将原曲线中的点全部换为对称点，即得对称方程。
例2．经过 点，是否存在直线 ，使抛物线 上总有两点关于对称？若存在，求出 的斜率的范围。
分析：解决存在性问题时，往往是首先假设满足条件的图形、关系等存在然后以此作为条件进行推理论证，寻找使结论成立的条件或出现恒成立的结果，则说明不存在。因此在本题中首先设这样的直线 存在，然后根据对称的条件确定斜率的范围。
解：设满足条件的直线 存在，当 轴时，由图形可知不满足条件；当 的斜率为 时，即 为 轴时满足条件；当 的斜率不为 时，设直线 的方程 ， 、 为抛物线上关于 对称的两点，设 的方程为 ，代入 得 由 得 即 ①
， ；又 中点 在 上，
。即 代入①得 ， 且 。综合以上得 。
说明：解决这类问题的关键是寻找使结论抛物线上总是存在不同的两点关于这条直线对称成立的条件，同样是抓住对称问题的三个要点展开我们的思路。
二关于直线对称
1理论分析
如果一个图形 沿着一条直线 翻折后与图形 完全重合，那么我们称图形 与 关于直线 对称。
一般情形有（1）点 关于x轴的对称点为
（2）点 关于y轴的对称点为
( 3 ) 点 关于直线y=x的对称点为
( 4 ) 点 关于直线y=－x的对称点为
( 5 ) 点 关于直线y=x+m的对称点为
( 6 ) 点 关于直线y=－x+m的对称点为
2、典型例题分析
例1求曲线 ： 关于直线 的对称曲线 的方程。
分析：解此题的关键是求 关于直线 的对称点。
解：设 为 上任一点，它关于直线 的对称点 ，则
，解得 ， 在 上 ，
，化简得 ：
说明：求曲线关于直线的对称曲线，若直线是如前所列的特殊直线，则可直接求出对称点；若是一般的直线，则需通过垂直、平分两条件建立方程组，将原曲线中的点用对称点表示，这样就能得出对称曲线的方程。
例2．已知椭圆方程 ，试确定 的范围，使得对于直线 ，椭圆上总是存在不同的两点关于这条直线对称。
分析：题目中的条件椭圆上总是存在不同的两点关于直线 对称，其中的两点有三方面的要求：这两点的连线与 垂直，故连线的斜率为 ；这两点连线中点在直线 上；这两点在椭圆上，即两点的连线与椭圆有两不同的公共点，即满足 整个解题紧扣这三个方面进行，而 的范围正是由不等式 所确定。
解：设椭圆上关于直线 对称的两点为 、 ，则设直线 方程为 ,
由 ，得 ，即
由 得 ， ①
， 、 中点为 ，即 ， 代入①得 ， 。
说明：这类问题是解几中较难的问题，一般分三步加以解决：第一步由 与已知直线垂直而设出直线 方程；第二步将 与曲线方程联立，由 得到不等关系；第三步计算 中点代入已知直线得到等量关系，再与不等式联立，得到所求参数的范围。
本题也可以用点差法来解：设 、 为椭圆上关于直线 对称的两点, 则 ，两式相减得 设 、 中点为 ，则 ， ， ；又 、 中点在直线 上，即 ，由 ，
, 在椭圆内，∴ ， ，故 。
此两种解法的形式与思路都不相同，但实际是一样的。
例3．已知 ，在 轴及直线 上各取一点 、 ，使 的周长最小，求 、 的坐标。
分析：本题表面上是最值问题，但如果直接设 、 的坐标，建立函数关系直接求最值，那将相当麻烦。而根据平几中的作图可知，本题的本质是对称问题，求出 关于 轴及直线 对称点，然后利用两点之间的线段最短确定 、 的位置。
解：如图作 关于 轴的对称点， ，作 关于直线 对称点 ，
则 ，解得 ，
即
的周长为 ，当 在一直线上时， 的周长最小。直线 ： ，与 轴的交点为 与直线 的交点 ， 为所求。
说明：利用平面几何中的可解决很多直线型的最值问题，这类问题通常都是与对称有关的，如在直线上求一点使它到直线同旁的两定点距离之和最小或直线上一点到它两侧的两定点距离之差最大等问题；求关于直线的对称点时，应紧扣垂直平分的条件。
例4．在以 为原点的直角坐标系中，点 为 的直角顶点，已知 ，且点 的纵坐标大于零。
1).求向量 的坐标
2).求圆 关于直线 对称的圆的方程
3).是否存在实数 ,使抛物线 上总有关于直线 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求 的取值范围。
分析：为了解决本题（1）首先要利用图形特征，求出向量 的坐标；（2）求圆关于直线对称圆的方程，只需求出圆心关于直线的对称点，即可写出圆的方程；（3）是典型的存在性问题，解题时只需根据垂直平分及 即可求出 的范围。
解：1).设 ，则由 ，即 得 或 ，因 ，得 ，故 。
2).由 ，得 ，直线 方程为 ；由条件可知圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，设圆心 关于 的对称点 ，则 得 ，故对称圆方程为 。
3).设存在 使抛物线上总由两点 、 关于直线 ： 对称，则 方程为 代入 得 ，由 得 ① 、 中点在直线 ， ，即 ，代入① ，即 。故 时，抛物线 上总有关于直线 对称的两点。
通过以上例题的分析可以看出：关于点的对称的实质是利用中点坐标公式寻找对称点；关于直线的对称问题的实质是垂直、平分；而在处理直线与曲线中的对称问题时必须体现垂直、平分、有交点三个方面。从这三点建立等量与不等量关系，从而确定所需条件，使问题得以解决。