正四面体的性质

Question

线线，线面，面面角的大小
高，体积，表面积的求法
内切球、外接球的半径及之比

Answer 1

正四面体
正四面体就是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形。它有6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。当其棱长为a时，其体积等于(√2/12)a^3，表面积等于√3*a^2。

正四面体是一种柏拉图多面体,正四面体与自身对偶.
正四面体的重心,四条高的交点,外接球内切球球心共点.正四面体有一个在其内部的内切球和七个旁切球与四个面相切,其中有三个旁切球球心在无穷远处.
正四面体有四条三重旋转对称轴,六个对称面.
正四面体可与正八面体填满空间,在一点周围有八个正四面体和六个正八面体.

顶点数:4 (相同) 棱数:6 (等长) 面:4 (全等正三角形)
棱长为1时，
高:6^0.5/3,中心把高分为1:3两部分.两条高夹角为2*asin(6^0.5/3)=2*acos(3^0.5/3)=2*atan(2^0.5)=2*acot(2^0.5/2)≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889.这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度.
表面积:3^0.5
体积:2^0.5/12
外接球半径:6^0.5/4,正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π约12.2517532%
内切球半径:6^0.5/12,内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18约30.2299894%
两个面夹角:2*asin(3^0.5/3)=2*acos(6^0.5/3)=2*atan(2^0.5/2)=2*acot(2^0.5)≈1.23095 94173 4077(弧度)或70°31′43″60571 58335 1107,与两条高夹角数值上互补.

Answer 2

正四面体由四个正三角形构成!线线角为60度,线面角为arccos√3/3（三分之根号三）面面角为arccos1/3设棱长为a则高为(√6/3)a 体积为（√2/12）a^3(a的三次方） 表面积为√3a^2 外接球半径为（√6/4）a 内切球半径为（√6/6）a 半径之比为3：2

Answer 3

正四面体就是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形。它有6条棱，4个顶点。
正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。  
正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。  
正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。  
正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。  
正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。

当正四面体的棱长为a时，一些数据如下：
高：√6a/3。中心把高分为1:3两部分。
表面积：√3a^2
体积：√2a^3/12
对棱中点的连线段的长：√2a/2
外接球半径：√6a/4，正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。
内切球半径：√6a/12，内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。
棱切球半径：√2a/4.
两条高夹角：2ArcSin（√6/3）=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49（弧度）或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关，也是蜂巢底菱形的钝角的角度.
两邻面夹角：2ArcSin（√3/3）=ArcCos(1/3)≈1.23095 94173 4077（弧度）或70°31′43″60571 58335 111，与两条高夹角在数值上互补。
侧棱与底面的夹角：ArcCos（√3/3）

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