求数列的常用公式

Question

如题所述

Answer 1

以数列的递推式求数列的通项公式
1、形如an+1=pan+q的递推式：
当p=1时数列为等差数列；当q=0,p≠0时数列为等比数列；
当p≠1,p≠0,q≠0时，
令an+1－t=p(an－t),整理得an+1=pan+(1－p)t,由an+1=pan+q，有(1－p)t=q∴t=q/(1－p),从而an+1－q/(1－p)=p〔an－q/(1－p)〕, ∴数列﹛an－q/(1－p)﹜是首项为a1－q/(1－p)，公比为q的等比数列。故an=〔a1－q/(1－p)〕pn－1+ q/(1－p)
2、形如an+1= pan +f(n)的递推式：
将上式两边同除以pn+1,得an+1/ pn+1=an/ pn+f(n)/ pn+1,
令bn= an/ pn,则bn+1=bn+ f(n)/ pn+1，由此可求出bn，从而求出an
3、形如an+1=pan+qa n－1（n≥2）的递推式：
1°若p+q=1时，p=1－q,则an+1=(1－q)an+qa n－1,即an+1－an=(an－a n－1)(-q)，知﹛an－a n－1﹜为等比数列，公比为-q，首项为a2－a 1 ，从而an+1－an=(a2－a 1)(-q) n－1，用叠加法就可求出an
2°若p+q≠1时，存在x1、x2满足an+1－x1an= x2 (an－x1a n－1)，整理得an+1=（x1+x2）an+ x1 x2a n－1 ，有x1+x2=p，-x1x2=q，把x1、x2看做一元二次方程x2－px－q=0的两个根，容易求出x1、x2 ，从而数列﹛an+1－x1an﹜是等比数列，可得an+1－x1an= x2 n－1 (a2－x1a 1)①或an+1－x2an= x1 n－1(an－x1a n－1)②，当x1≠x2 时，由①②联立可解得an ；当x1=x2时，转化成以上类型的递推式，可求出an

Answer 2

通项和求和

Answer 3

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