1，1,2,3,5后面是什么

Question

如题所述

Answer 1

斐波纳契数列（Fibonacci Sequence），又称黄金分割数列。在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。
通项公式的推导
　　斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 　　
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式： 　　
F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)， 　　
显然这是一个线性递推数列。 　　
方法一：利用特征方程（线性代数解法） 　　
线性递推数列的特征方程为： 　　
X^2=X+1 　　
解得 　　
X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。 　　
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。 　　
∵F(1)=F(2)=1。 　　
∴C1*X1 + C2*X2。 　　
C1*X1^2 + C2*X2^2。 　　
解得C1=√5/5，C2=-√5/5。 　　
∴F(n)=(√5/5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）。 　　
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 　　
设常数r，s。 　　
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 　　
则r+s=1， -rs=1。 　　
n≥3时，有。 　　
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。 　　
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。 　　
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。 　　…… 　　
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。 　　
联立以上n-2个式子，得： 　　
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。 　　
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。 　　
上式可化简得： 　　
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 。 　　
那么： 　　
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)。 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)。 　　
…… 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)。 　　
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)。 　　
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。 　　
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)。 　　
=(s^n - r^n)/(s-r)。 　　
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。 　　
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}。 　　
方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 　　
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式。 　　
解 :设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))。 　　
得α+β=1。 　　
αβ=-1。 　　
构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2。 　　
所以。 　　
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。 　　
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。 　　
由式1,式2,可得。 　　
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。 　　
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。 　　
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。