若正三棱锥的棱长都是6cm，求它的内切球的表面积与体积。急急急！要步骤！急急急急急急！！

Question

如题所述

Answer 1

正三棱锥体积公式为V=(√2/12)a^3
a=6时，体积V=18√2
将球心O与四面体的4个顶点全部连结，可以得到4个全等的小三棱锥，体心为顶点，以正三棱锥面为底面,高为正三棱锥内切球半径R。
每个小三棱锥体积V1=1/3*S*R=1/3*1/2*6*6*sin60*R=3√3*R
4个小三棱锥体积之和=正三棱锥体积
所以4*3√3*R=18√2
所以R=√6/2
所以内切球表面积=4πR^2=4π*(√6/2)^2=6π
内切球体积=4/3πR^3=4/3π(√6/2)^3=√6*π

Answer 2

可求得正三棱锥的高为2√6，（过程需要画图，若需要过程请回复）
正三棱锥的内切球的球心在高线上，且到各个面的距离相等，
根据等体积法可求得内切球半径r=√6（√3-1）
所以它的内切球的表面积S=4πr方=48（2-√3）π
体积V=16（3√3-5）π