近世代数问题。证明：4阶群是交换群？

Question

抽象代数 近世代数问题证明：4阶群是交换群。如图

Answer 1

证明：如果题目所问的是两个同阶的有限交换群是否同构，答案是否定的。

一个简单的反例便是{0,1,2,3}和{0,1}×{0,1}。

前者的群乘法是模4的加法，后者的群乘法定义为(a,b)·(c,d)=(a⊕c,b⊕d)，其中⊕表示异或。

容易验证这二者都是四阶群，但不同构，证明如下：

假设同构，设该同构函数为f，设f(1)=(a,b)，则f(0)=(0,0)（同构将一个群的幺元映射成另一个群的幺元），f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=(a⊕a,b⊕b)=(0,0)=f(0)。

这说明f不是单射，这与f是同构矛盾。

因此由反证法知这两个群不同构。

扩展资料

近世代数即抽象代数。

代数是数学的其中一门分支，当中可大致分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的代数方程理论，主要研究某一代数方程(组)是否可解，如何求出代数方程所有的根〔包括近似根〕，以及代数方程的根有何性质等问题。

法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题。他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。

他使代数学由作为解代数方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。

360百科-近世代数

Answer 2

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