立体几何问题求解第一问

Question

如题所述

Answer 1

（1）、如图所示，取BB₁的中点G，连接DF、FG、AG。

因为在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中有BC=FG=2BG=2B₁G，FG⊥BB₁，AD∥平面B₁BCC₁，

且AD在平面AGFD上，平面AGFD与平面B₁BCC₁交于FG，所以AD∥FG，

所以∠B₁FG即为B₁F与AD所成角的平面角，

因为在直角三角形B₁FG中有FG=2B₁G，所以tan∠B₁FG=B₁G/FG=1/2，

即B₁F与AD所成角的正切值为1/2。

（2）、如图所示，取BB₁的中点G，连接C₁G、EG。

因为在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中有BB₁与DD₁平行且相等，BB₁与CC₁平行且相等，

所以四边形BB₁D₁D为平行四边形，有BD∥B₁D₁①，

因为点F、G分别为CC₁、BB₁中点，所以C₁F与GB平行且相等，

四边形C₁GBF为平行四边形，有C₁G∥FB，

又因为C₁D₁∥平面A₁ABB₁，C₁D₁在平面D₁EGC₁上，

平面D₁EGC₁与平面A₁ABB₁交于EG，所以C₁D₁∥EG，且C₁D₁=EG，

所以四边形D₁EGC₁为平行四边形，有D₁E∥C₁G∥FB②，

根据结论①②，且BD、FB在平面BDF上相交于点B，

B₁D₁、D₁E在平面B₁D₁E上相交于点D₁，所以有平面BDF∥平面B₁D₁E。