怎样求行列式的代数余子式？

Question

如题所述

Answer 1

行列式的代数余子式是求矩阵中每个元素的代数余子式的值，然后将其组合成一个行列式的值。下面介绍如何计算一个矩阵中每个元素的代数余子式。

以三阶矩阵A为例，假设A的元素为a_{i,j}，其中i表示行号，j表示列号。对于每个元素a_{i,j}，可以按照下面的步骤计算它的代数余子式：

将A的第i行第j列元素替换为1，其它元素替换为0，得到一个3x3的矩阵B。

例如，如果A是

1 2 3

4 5 6

7 8 9

那么对于第一行第一列元素a_{1,1}的代数余子式，将A替换为

1 0 0

4 5 6

7 8 9

对于B中的元素按照以下规则替换：
将B中第i行第j列的元素替换为(-1)^{i+j}。

例如，上述B矩阵中第一行第一列的元素1应该替换为(-1)^1+1=0。

将B中所有元素按照行优先的顺序组合成一个新的行列式，这个新的行列式的值就是a_{i,j}的代数余子式的值。

例如，上述B矩阵的代数余子式为

(-1)^2 * (-1)^3 + (-1)^1 * (-1)^2 + (-1)^0 * (-1)^1 = -1-5+0 = -6

所以a_{1,1}的代数余子式为-6。

同理可以计算出A中每个元素的代数余子式。最终，将每个元素的代数余子式按照其所在的位置组合起来，就可以得到行列式的值。

Answer 2

你好！以第一行全为1的行列式为例。根据性质按第一行展开得D=1×A11+1×A12+...+1×A1n=A11+A12+..+A1n。第一行元素与其它行的代数余子式乘积之和为0，即k>1时，0=1×Ak1+1×Ak2+...+1×Akn=Ak1+Ak2+..+Akn。所以所有代数余子式之和是A11+A12+...+A1n+A21+A22+...+A2n+...+An1+An2+...+Ann=D+0+...+0=D。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！