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    设等比数列{a n }的前n项和为S n .已知a n+1 =2S n +2( )（1）求数列{a n }的通项公式；（2）在a n 与a n+1 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n 的等差数列，①在数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p （其中m,k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项，若不存在，说明理由；②求证： .

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    推荐答案   推荐于2016-02-16
    （1）    （2）见解析


    试题分析：
    （1）利用S n 与a n 之间的关系 ,即可得到关于a n+1 ,a n 的递推式，证明a n 为等比数列，且可以知道公比，当n=1时，可以得到a 1 与a 2 之间的关系，在根据a n 等比数列，可以消掉a 2 得到首项的值，进而得到通项公式.
    （2）根据等差数列公差与项之间的关系( ),可以得到 ，带入a n 得到d n 的通项公式.
    ①假设存在，d m ，d k ，d p 成等比数列，可以得到关于他们的等比中项式子，把d n 的通项公式带入计算可以得到 ，则m,k,p既成等差数列也是等比数列，所以三者相等，与数列{d n }中是否存在三项d m ，d k ，d p (不相等)矛盾,所以是不存在的.
    ②利用(2)所得求出 的通项公式，再利用错位相减可以求得 ,利用不等式的性质即可得到 证明原式.
    试题解析：
    （1）由 ,
    可得： ,
    两式相减： .        2分
    又 ,
    因为数列 是等比数列，所以 ，故 .
    所以 .        4分
    （2）由（1）可知 ，
    因为： ，故： .        6分
    ①假设在数列 中存在三项 （其中 成等差数列）成等比数列，
    则： ，即： ,
    （*）      8分
    因为 成等差数列，所以 ,
    （*）可以化简为 ，故 ，这与题设矛盾.
    所以在数列 中不存在三项 （其中 成等差数列）成等比数列.10分
    ②令 ，
    ,
          11分
    两式相减：
          13分
    .      14分
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