设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知ξ1，ξ2，ξ3是它的三个解向量，则该方程组的通解为（

Question

设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知ξ1，ξ2，ξ3是它的三个解向量，则该方程组的通解为（　　）A．k1（ξ1-ξ2）+ξ3B．k1（ξ2-ξ3）+ξ1+ξ3C．k1（ξ1-ξ3）+k2（ξ1+ξ2）+ξ1D．k1（ξ1+ξ3）+k2（ξ2-ξ3）+ξ1

Answer 1

因为ξ1，ξ2，ξ3为非齐次线性方程组的三个解向量，而且非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3。

根据定义，非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b。

所以将ξ1，ξ2，ξ3代入Ax=b得到，Aξ1=b，Aξ2=b，Aξ3=b等式两边成立。因为非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，根据解的结构知，Ax=b的基础解析只有一个。

又因为非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解。

而齐次线性方程组的表达式为：Ax=0，同时Ax=0的基础解析也只有一个。

所以 令α1，α2，α3为Ax=0可能有的基础解析，即可令为Aα1=A（ξ1-ξ2）=b-b=0；

Aα2=A（ξ1-ξ3）=b-b=0；Aα3=A（ξ2-ξ3）=b-b=0.

所以 α1=ξ1-ξ2；α2=ξ1-ξ3；α3=ξ2-ξ3三个中的一个均可作为Ax=0的基础解析，所以齐次线性方程组的通解为k1（ξ1-ξ2)或者k1（ξ1-ξ3)或者k1（ξ2-ξ3)。

由Aξ1=b，Aξ2=b，Aξ3=b知，ξ1，ξ2，ξ3其中一个均可作为非齐次线性方程组的一个特解。

所以最后知道非齐次线性方程组的通解为k1（ξ1-ξ2）+ξ3。

扩展资料：

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于c1,c2,……c n-r，即可写出含n-r个参数的通解。

参考资料来源：百度百科-非齐次线性方程组

参考资料来源：百度百科-齐次线性方程组

Answer 2

①选项A．由于四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，因此其导出组的基础解系所含解向量的个数为4-3=1
而ξ₁，ξ₂，ξ₃是它的三个解向量，
从而ξ₁-ξ₂、ξ₂-ξ₃、ξ₁-ξ₃导出组的基础解系
∴该方程组的通解为k₁（ξ₁-ξ₂）+ξ₃，故A正确
②选项B．由于ξ₁+ξ₃不是非齐次的解，故B错误；
③选项C和D．由于非齐次导出组的基础解系只含有一个解向量，而C和D两个选项意味着导出组的基础解系含有两个解向量
故C和D错误
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