高二 数学 空间向量 请详细解答,谢谢! (13 17:55:27)

Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别是AB，SC的中点.
（1）求证：EF‖平面SAD.
（2）若SD=2CD，求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.

Answer 1

(1)因为E，F分别是AB，SC的中点.设DC的中点为M，连接EM、FM，得EM‖AD，FM‖SD，进而有平面SAD‖平面EFM，EF在平面EFM内。所以，EF‖平面SAD。
(2)以D为坐标原点，DC、DA、DS分别为x、y、z轴建立直角坐标系。D（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），S（0，0，4），B（2，2，0），E（1，2，0），F（1，0，2）。向量DE=（1，2，0），向量DF=（1，0，2），向量AE=（1，0，0），向量AF=（1，-2，2）。设平面AEF的法向量为向量m=(a,b,c)，平面DEF的法向量为向量n=(e,f,g)。有a=0,b=c,取b=c=1，即得向量m=(0,1,1)；还有e+2f=0,e+2g=0,取f=g=1,得e=-2,向量n=（-2，1，1）。向量m与向量n夹角的余弦值为（1+1）/（√2*√6）=√3/3，二面角A-EF-D的平面角的余弦值为-√3/3。

Answer 2

(1)证明：取CD中点G，连接FG和EG，
因为SD⊥底面ABCD，F\G分别是SC、DC中点
所以SD⊥CD,FG⊥CD，SD与FG平行
因为底面ABCD是正方形，E、G分别是AB、CD的中点
所以AD与EG平行
所以平面SDA与平面FGE平行
所以EF与平面SAD平行。
（2）解：建立直角坐标系即可按公式求，因为我现在有点事情，没时间细发答案，见谅！