平行和垂直的判定方法如下：
一、平行
1、平行公理和三角形中位线定理：两条直线平行，如果它们在同一个平面内，且没有其他直线与它们相交。这是一个非常重要的公理，它表明了在同一平面内的直线要么平行，要么相交。三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。这个定理可以用来判断两条线段是否平行。
2、内错角相等和同位角相等：如果两直线平行，那么它们被第三条直线所截的内错角相等。这个定理可以用来判断两条线是否平行。如果两直线平行，那么它们被第三条直线所截的同位角相等。这个定理也可以用来判断两条线是否平行。
二、垂直
1、垂直公理和三角形的高线定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这个平面内的任何一条直线都与这条直线垂直。这个公理表明，如果一条直线与一个平面垂直，那么在这个平面内的所有直线都与这条直线垂直。在一个三角形中，三条高线互相垂直。
2、内错角互补和对顶角相等：如果两直线垂直，那么它们被第三条直线所截的内错角互补。这个定理可以用来判断两条线是否垂直。如果两角是对顶角，那么它们相等。这个定理也可以用来判断两个角是否垂直。
平行和垂直的关系
1、平行与垂直的定义：在欧几里得几何中，两条直线被定义为平行，如果它们在同一个平面内，并且没有其他直线与它们相交。而如果两条直线互相垂直，则它们所成的角度为90度。
2、平行与垂直的性质：平行和垂直是两种特殊的几何关系，它们具有一些共同的性质。例如，如果两条直线平行，那么它们没有交点；同样，如果两条直线垂直，那么它们没有平行部分。平行线之间的距离处处相等，而垂直线段的长短与垂直线的长度无关。
3、平行与垂直的应用：平行和垂直的概念在现实生活中有着广泛的应用。例如，在建筑学中，设计师可以利用平行和垂直的关系来规划和建造建筑物；在机械制造中，工程师可以利用平行和垂直的关系来制造机器部件；在交通运输中，驾驶员可以利用平行和垂直的关系来驾驶车辆。