速求双曲线焦点三角形周长公式。

Question

如题所述

Answer 1

当双曲线的焦点在x轴上时，设标准方程为x²/a²-y²/b²=1，两焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),设双曲线上任一点P(x,y),则y²=b²/a²x²-b²
PF1=根号[(x+c)²+y²]=根号(c²/a²x²+2cx+a²)=根号(c/ax+a)²=|c/ax+a|
PF2=根号[(x-c)²+y²]=根号(c²/a²x²-2cx+a²)=根号(c/ax-a)²=|c/ax-a|
∵|PF1-PF2|=2a
∴c/ax+a与c/ax-a同号
∴焦点三角形PF1F2的周长=PF1+PF2+F1F2=|c/ax+a|+|c/ax-a|+2c=2ex+2c
当双曲线的焦点在y轴上时，同理可证焦点三角形PF1F2的周长=PF1+PF2+F1F2=2ey+2c

Answer 2

【题1】
已知f1，f2是双曲线4(x2)－y2＝1的两个焦点，p是双曲线上一点，且∠f1pf2＝90°，则△f1pf2的面积是(　　)．
a．1
b．2(5)
c．2
d．
a　解析：解法一：设|pf1|＝d1，|pf2|＝d2，[来源:学_科_网]
由双曲线的定义可知|d1－d2|＝4．又∠f1pf2＝90°，
于是有d1(2)＋d2(2)＝|f1f2|2＝20，
因此，＝2(1)d1d2＝4(1)(d1(2)＋d2(2)－|d1－d2|2)＝1．
解法二：由4(x2)－y2＝1，知|f1f2|＝2．
设p点的纵坐标为yp，由于∠f1pf2＝90°，则p在以|f1f2|为直径的圆上，即在x2＋y2＝5上．[来源:学科网]
由x2－4y2＝4，(x2＋y2＝5，)消去x得|yp|＝5(5)．
故△f1pf2的面积s＝2(1)|f1f2|·|yp|＝1．
【题2】
已知有相同两焦点f1、f2的椭圆m(x2)＋y2＝1(m>1)和双曲线n(x2)－y2＝1(n>0)，p是它们的一个交点，则△f1pf2的形状是(　　)
a．锐角三角形
b．直角三角形
c．钝角三角形
d．随m、n变化而变化
【解析】　∵|pf1|＋|pf2|＝2，|pf1|－|pf2|＝±2，又m－1＝n＋1，
∴|pf1|2＋|pf2|2＝2(m＋n)＝4(m－1)＝|f1f2|2.
【答案】　b
【题3】
已知双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)，其焦点为f1、f2，过f1作直线交双曲线同一支于a、b两点，且|ab|＝m，则△abf2的周长是(　　)
a．4a　　　　　　　　
b．4a－m
c．4a＋2m
d．4a－2m
[答案]　c
【题4】
已知双曲线9(x2)－16(y2)＝1的左、右焦点分别为f1、f2，若双曲线上一点p使∠f1pf2＝90°，则△f1pf2的面积是(　　)
a．12　　　b．16　　　c．24　　　d．32
[答案]　b
[解析]　由定义||pf1|－|pf2||＝6，
∴|pf1|2＋|pf2|2－2|pf1|·|pf2|＝36，
∵|pf1|2＋|pf2|2＝|f1f2|2＝100，
∴|pf1||pf2|＝32，
∴s△pf1f2＝2(1)|pf1|·|pf2|＝16.
【题5】
已知双曲线c：9(x2)－16(y2)＝1的左、右焦点分别为f1、f2，p为c的右支上一点，且|pf2|＝|f1f2|，则△pf1f2的面积等于(　　)
a．24　　　
b．36　　　
c．48　　　
d．96
[答案]　c
[解析]　依题意得|pf2|＝|f1f2|＝10，由双曲线的定义得|pf1|－|pf2|＝6，∴|pf1|＝16，因此△pf1f2的面积等于2(1)×16×2(16)＝48，选c.
【题6】
已知f1，f2为双曲线c：x2－y2＝1的左、右焦点，p点在c上，∠f1pf2＝60°，则p到x轴的距离为(　　)
a.2(3)
b.2(6)
c.
d.
解析　设|pf1|＝m，|pf2|＝n，不妨设m>n，p(x，y)，|pf1|－|pf2|＝m－n＝2.在△f1pf2中，由余弦定理得
(2)2＝m2＋n2－2mncos60°，
∴8＝(m－n)2＋mn.
∴mn＝4.
由△f1pf2的面积相等，得
2(1)×2×|y|＝2(1)mnsin60°，
即|y|＝2(1)×4×2(3).
∴|y|＝2(6).
即p到x轴的距离为2(6).
答案　b
【题7】
椭圆49(y2)＋24(x2)＝1与双曲线y2－24(x2)＝1有公共点p，则p与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为
(　　)
a．48
b．24
c．24
d．12
解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点f1(0,5)和f2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得
||pf1|－|pf2||＝2，(|pf1|＋|pf2|＝14，)所以|pf2|＝6，(|pf1|＝8，)或|pf2|＝8.(|pf1|＝6，)
又|f1f2|＝10，
∴△pf1f2为直角三角形，∠f1pf2＝90°.
因此△pf1f2的面积s＝2(1)|pf1||pf2|＝2(1)×6×8＝24.
答案：b
【题8】
已知点p是双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)右支上一点，f1、f2分别是双曲线的左、右焦点，i为△pf1f2的内心，若s△ipf1＝s△ipf2＋2(1)s△if1f2成立，则双曲线的离心率为(　　)
a．4　　　b．2(5)　　　c．2　　　d．3(5)
【解析】　由s△ipf1＝s△ipf2＋2(1)s△if1f2得，|pf1|＝|pf2|＋2(1)×2c，p是右支上的点，所以|pf1|＝|pf2|＋2a，即有2(1)×2c＝2a，e＝2，选c.
【答案】　c

Answer 3

2a+2c即可