正三棱锥的高为1 底面边长为2内有一个球与四个面都相切 求球的半径R和棱锥表面积

Question

如题所述

Answer 1

解：如图正三棱锥S-ABC，内切球O，半径为r.

AD=√3/2*AB=√3/2*2=√3.

DE=1/3*AD=√3/3.

SE=1.

侧面的斜高SD2=DE2+SE2=1/3+1=4/3，SD=（2√3）/3.

S（侧）=1/2*3AB*SD=1/2*6*（2√3）/3=2√3；

S（底）=1/2*BC*AD=1/2*2*√3=√3.

S（表）=S（侧）+S（底）=2√3+√3=3√3。

我们利用等积法求r.

V(S-ABC)=1/3* S（底）*SE=1/3*√3*1=√3/3.

另一方面，连接OA、OB、OC、OS，就把棱锥分成了4个小棱锥，

其体积和=1/3*S（表）*r =1/3*3√3*r=√3*r.

于是有：√3*r=√3/3，所以，r=1/3.

Answer 2

设球的半径为R
根据题意 内切球球心到正三棱锥个面的距离均为R
取正是图中三角形（各边长为2，√ 2，√2的等腰直角三角形 ）计算即可
故有计算式 R+√2R=1
R=√2-1
棱锥表面积由侧面积+底面积
先求侧面积（3个相同的三角形），由已知的高和底边
结合图形求侧面三角形的高
h=√ [（√ 3/3）^2+1^2]=2√ 3/3
故棱锥表面积为
0.5*2*2√ 3/3*3+0.5*2*√ 3=3√ 3