y=[上限x,下限(-π/2)]∫(√cost)dt的弧长

Question

我的疑问是如何确定x的范围，我知道可以通过y导数求出正负π/2这个范围。但是因为无法求出原函数，那么如何确定x的定义域就是正负π/2而没有其他限制呢（比如零点之类的）

Answer 1

这里y是x的函数，只不过是用变限积分表示的，已知y'=√cos
x
是偶函数，可见函数y=f(x)是个奇函数，f(0)=0,利用求弧长公式得：
L=∫[0,x]√[1+f'(t)^2]dt
=∫[0,x]√[1+cos(t)]dt
=∫[0,x]√2|cos(t/2)|dt
假定0<=t<π,
cos(t/2)>=0
=2√2*|sin(x/2)|
可见，在一个周期π内长度=2√2,
在不到一个周期的区间内，用上述公式计算，利用长度的可加性，便可求得任意区间内的长度。